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骨架：GPU 干两件事 —— ① 把顶点流处理成裁剪空间顶点；② 据此画像素。 一个几何顶点、一张纹理、一组参数，从进入到输出被逐阶段变换与消费的全过程。

附录 · 图元的增删发生在哪一段、为什么它是可选的 —— 查得到就行，不进主线。

骨架：着色不是「给表面涂颜色」，而是解一个积分 —— 对每个着色点，把所有入射方向的贡献按 BRDF 加权累加。 沿模型谱系走，每一代都是对同一个积分更好的一次近似。

附录 A1 · CSM 级联阴影（级联按对数切分）—— 成本高于主线，按需展开。

骨架：一个着色点接收到的光，有一部分来自别的物体反射的光；而别的物体，又接收到它反射的光。 要算清这一点只能在场景里采样 —— 而一旦靠采样，就受 1/√N 支配。

附录 A1 光子映射与辐照度缓存 ／ A2 VXGI —— 成本高，按需展开。

骨架：物理模拟每一帧只做三件事 —— ① 对每个物体积分；② 找出接触（谁压着谁、压多深）；③ 解约束（按质量分配地纠回来）。 前三课把这三件事各讲透一次；第四课把「硬」约束换成「软」约束，绳子与布料就出来了；第五课把镜头挪到关节与骨骼，收口整条链。

附录 A1 高阶积分器（RK2 / RK4 / Verlet）／ A2 连续碰撞检测（CCD、保守推进）／ A3 摩擦锥与休眠 ／ A4 关节与骨骼（点/铰/锥约束、motor、ragdoll）—— 按需展开。

骨架：动画 = 每一帧先把骨架姿态算出来，再把网格顶点按权重「挂」到骨头上（蒙皮是「读姿态」的人，IK / 弹簧骨 / 关键帧是「写姿态」的三条路）。 第一课做前半段（姿态 → 顶点）；第 2–4 课做「写姿态」的三条路 —— 解出来的（IK 反解）、演出来的（弹簧骨）、 以及真实项目里占比最大的那一条：补出来的（关键帧与插值）；第 5 课把这些动作叠起来：权重混合、相位、遮罩、加层。

附录 A1 双四元数蒙皮与辅助骨 ／ A2 反向动力学（双骨解析解 / FABRIK / CCD）／ A3 Verlet 弹簧骨 ／ A4 切线与钳制（怎样既平滑又不过冲）／ A5 状态机与过渡条件、根运动与脚步锁定、混合树与分层遮罩 —— 按需展开。

骨架：特效 = 一大堆各自独立的小东西，每一个只做三件事 —— ① 按自己的速度挪一步；② 按自己的寿命决定还剩多少不透明； ③ 按「从远到近」的顺序盖到画面上。前五个课题讲的都是"一个东西怎么被画对"（一条管线、一个球、一个场景、一堆刚体、一具骨架）， 这个课题开始讲"一堆"：每个粒子都微不足道，一团的观感全来自它们怎么叠加 —— 而"叠加"正是第 3 课的混合、"挪一步"正是第 5 课的积分。 第 1 课搭出引擎，第 2 课把"速度从哪来"换成每处空间给一个无散的速度场（旋度噪声），粒子才开始像"被空气推着走"； 第 3 课把粒子放进有物体的场景，于是"谁盖谁"要从二值判定换成按场景深度连续淡出（软粒子）； 第 4 课把"画完的那张图"本身当成数据再算一遍 —— 亮处的光要溢到邻域去（后处理链：提取 → 金字塔模糊 → 按强度 k 加回去）； 第 5 课把图里的深度与法线也用起来：环境光被挡住多少（遮蔽）、镜子里那份光从哪来（反射）—— 而这一切都有个前提：图里没有的东西就等于不存在。

附录 A1 流场的更多形式（势流 / 速度场贴图）—— 按需展开。

骨架：程序化生成 = 不摆位置、只定规则 —— 同一颗种子 + 同一个规则，必须长出同一片内容。 而"像自然"靠两件事：横着看，每个格点上一个随机数、中间按核平滑地连起来；竖着看，把很多层按幂律叠起来（自相似）。 前六个课题讲的都是"把一个已经存在的东西画对"，这个课题讲"东西本身是怎么长出来的" —— 它也是唯一一个"随机"真正进了算式的地方：第 1 课先把随机数从"一个没有距离概念的数"变成一张处处光滑的场， 第 2 课再换一种喂坐标的方式（不改函数、只改坐标）—— 同一张场立刻长出走向、山脊与峡谷，摆上一套只读高度的着色，它就是地形。 第 3 课换掉规则本身：不说"相邻处要相似"，只说相邻处必须是一对见过的搭配 —— 机器拼出一张不违和的图， 而"拼不出来"这件事第一次变成了一笔可以数的账。 第 4 课连"瓦片"也不要了：规则从一张样例图里自己数出来 —— 输出里出现的每一个 N×N 小方块都必须来自样例（C1）， 而"局部合法 ≠ 整体像"这件事，可以用两把不同大小的尺子当场量出来。

附录 A1 把约束钉到具体内容上（封边 / 钉死关键格 / 分层生成）／ A2 关卡连通性 —— 按需展开。

骨架：前八课的输入都是已经离好的东西（顶点、像素、瓦片、样例图）。这个课题退到更前面一步：连续的东西怎么变成一串数？ 而这正好是整站最基础的那道数学 —— 采样与重建：纹理过滤、Mipmap、MSAA、阴影贴图走样、TAA，全是它。 全课题骨架：采样不是"取点"，是"用一串离散值 + 一个重建核，去猜那个连续的东西"；核决定它像不像， 而"先滤再采"是唯一的治本手段 —— 图像里的摩尔纹与声音里的混叠，是同一道数学。 第 1 课把这条链走完一遍，每一步都留一个能拿笔核的数：折叠律 f_alias = |f − k·f_s|、 重建核的过点条件 h(0)=1、h(整数≠0)=0、混叠幅度 = 采前低通的 |H(f)|。 最该记住的一句是：混叠不是"像"，是"相同" —— 700 Hz 采成 1000 Hz 与直接采 300 Hz， 是两个逐位相同的样本序列；画 11 条条纹、只有 16 个像素，与画 5 条是同一张图。 第 2 课接着拆"先滤再采"里的那台滤波器：它就是一个差分方程，五项系数就是那条频响曲线； "设计滤波器"从形状反解系数有三条能拿笔核的特值；而唯一的坑是双线性变换把频率轴用 tan 扭了一下 —— 不预畸变时 −3 dB 点越靠近 Nyquist 偏得越狠（0.45·f_s 处偏 −32.44%）。
第 3 课反过来 —— 不采一根弦，而是用一条几十个采样长的环形延迟线把一根弦"长"出来： 音高由"这一圈走几拍"（p + ½）定，衰减由环路里那个滤波器定。 第 4 课换一个问法：一个声音怎么被放到"左边 / 远处 / 身后"去 —— 答案是给它算出几个增益 （方位角给两个、距离给一个、朝向再给一个），而 equalpower 那套算法有个反直觉的底： 它把方位角折回 [−90°, 90°]，于是"正前"与"正后"的两个增益逐位相同。

附录 A1 卷积混响与脉冲响应／ A2 AudioWorklet 与在音频线程里跑自写 DSP —— 按需展开。

骨架：几何不是"画"出来的，是控制点 + 一条可以反复施加的规则算出来的 —— 而那条规则只做一件事：在两点之间取一点。 前九个课题的输入都是已经离好的东西（顶点、像素、瓦片、网格、样例图）；这个课题退到更前面一步： 那些顶点和网格是从哪儿来的？ 第 1 课把这条规则用在一排控制点上：把它重复 n 次就是一条曲线（de Casteljau 的金字塔）， 行数就是次数；把系数一次算完就是 Bernstein 形式 —— 两条路线不共用任何中间量， 721 档扫下来最大差 3.46e−13。 最该记住的两句：曲线只经过首末控制点（中间那些只是"拉力"，离曲线最近也还有 170.00 px）； 两段接得光不光滑只看端点切线——B'(0) = n(P₁−P₀)， 于是 C¹ 的条件是 P₂ → Q₀ → Q₁ 三点共线且等距（共线度从 0.384615 = 5/13 掉到 0）。 第 2 课把同一条规则搬到三维网格上：真实网格的每个点周围围着一圈面， 于是"在两点之间取一点"升级成三条同时取平均的规则（面点 / 边点 / 顶点点）。 量出来才敢说的一件事：三条只做两条，曲面比不改还糟 —— 角上的最大二面角从 90° 涨到 116.18°；三条齐了才单调下降（90° → 7.06°）。 第 3 课换一条路：不再"把网格变密"，而是从一条线直接得到一整张面 —— 两个方向各做一次第 1 课的事（先按列取点、再对这一排取点）。 量出来最该记住的一件：面上的点受整片控制网影响，可四条边界曲线只受边界那一行一列影响 （扰正中间那个点，四条边界的位移恰好是 0）； 再给控制点配一个权重 w = sin(α/2)，同一条抛物线就落成精确的圆， 两个方向都配上，就得到精确的环面（隐式方程残差相对 4.87e−16）。 第 4 课回头补上前三课一直没交代的那个前提："任意拓扑"是靠一份存下来的账换来的 —— 每条边拆成两条半边，记下 next / twin / 起点 / 左侧面，于是"邻居是谁"从"现算"变成"顺着指针读"。 量出来最该记住的一件：这份账有前提 —— 一条边被三个面共用、顶点星分成两片、曲面不可定向 （Möbius 带），三种情形本页都造了反例，各自被拒在不同的那一条上。 而有了邻域就能算曲率：立方体每个顶点亏 π/2，八个合起来恰好 4π（与 2πχ 之差为 0）。

附录 A1 布尔与重网格（玩具规模，如实标示意）／ A2 细分曲面的 GPU 自适应（Pixar TOG 2012）—— 按需展开。

骨架：寻路不是"找一条路"，而是给地图上每个位置记一个数，然后从任意一点顺着这个数往下走 —— 而记数这件事只有一条规则：从已经确定的那一圈往外推一格，给新格记下它自己的数。 前十个课题的输入都是"已经摆好的东西"（顶点、像素、瓦片、网格、样例图、控制点）；这个课题退到更前面一步： 从一个位置走到另一个位置，中间这件事到底怎么算？ 第 1 课先把"路"换成一张数表：每格记一个 d（到起点花了多少）， 每轮取 d 最小的那一格定为"已定"，再给它的四个邻居记上 cand = d[n] + w。 量出来才敢写的一件事：这张表与"按层一圈圈扩"这条完全独立的路线逐格相同 —— 965 个可走格一位不差；把泥地标成"贵 4 倍"之后，最短路自己改道 （单位权 31 步穿 7 格泥 → 带权 47 步一格泥都不穿，老路线按带权算 52）； 而"取到目标就停"省下 19.8% 的格数、目标那一格上的数一模一样。 第 2 课补上泛洪缺的那一半：让每格的数里多一项"从它到终点还要花多少"的猜测， 取的时候按 f = g + h 取 —— 要定的格从 965 降到 233（少算 75.9%）， 而解一位不差（都是 47，第三条独立路线"从终点反向泛洪"给出同一个 47）。 最该记住的一句："不高估"（可采纳）保的不是"答案更准"，而是"答案不变" —— 把猜测整体乘 k，k 在 0 与 1 之间拖，解代价五档全是 47，变的只有要定多少格（774 → 233）； 而越过那条线之后丢掉的不是答案、是保证：k = 1.25 已有 841 个格被高估却仍给出最优解， 到 k = 1.5 才真的坏（贵 5）。再把它当旋钮用（f = g + W·h）， 界就是 C ≤ W·C*：W 从 1 拖到 3，要定的格从 233 掉到 41，解最多只涨 10.6%。 第 3 课顺着这层对称性往下走一步：大部分方向根本不必看。 从一格往前走时只留两个方向 —— "继续往前那一个"永远留，"旁边那一个"只在退半步是墙时才留 （后者就是所谓"被迫方向"）。这条规矩与"按定义逐条算"的版本逐对核 3612 对、不一致 0， 全图 13842 个方向剪掉 10412（75.2%）。可量出来的一件意外更值钱： 它在每一条局部上都证得出，整体上却把图剪断了 —— 只按这条规矩搜索，目标上的数是 ∞ （补上"被迫方向"也仍是 ∞），而"四邻都看"只要 323 格就给出 43。 于是这一课的交付换了个位置：规矩留着讲清楚（它是跳点法的来处）， 而"把一串格压成转角"这件事在已经拿到的最优路径上用（43 步 → 5 个点 / 4 段，段长和仍是 43）。 第 4 课换了一个问法：前三课都是"一个人问一次"，可真实场景是一千个人朝同一个终点走。 于是把账从终点往外一次摊到每一格（积分场：每格记下"到终点还要花多少"）， 再让每格只留一个方向（流场：比八个邻居取积分值最小的那个）。 量出来的是两件事：沿场从任意一格走到头，955 格一个都没卡住（除终点外无局部极小）； 而"一张场 + 1000 次读"只要 1955 格次，同样的人各跑一次 A* 要 183 000 格次 —— 少算 98.93%。 ★ 这里有一处口径要如实说：积分场是四连通、流场比的是八个邻居，斜走也算一步， 所以起点那一格积分值 43、沿场真的走一遍只要 31 步。 最后补上前三课都没碰过的那一半：人多了会互相挡 —— 两个人快撞上时各让一半（谁也不把责任推给对方）：不避障会从彼此身上穿过去（跨组最小距 0.0001）， 而"各担一半"时最小距 0.8778，连绕行量也几乎对分（+6.1 / +6.8）；只让一方担责的话，那一方要多绕 5 倍多。 第 5 课把"数的载体"从格换成面：先把空间体素化、按 agent 半径把走不了的格删掉， 再把可走面切成一批凸多边形（盖满不重叠、相邻共享一整段）， 最后在多边形图上跑 A* 拿到"经过哪几个面"、再把折线拉直成"具体怎么走"。 量出来的：24×16 的玩具世界里体素化得 1264 个可走格，按半径 0.75 过滤后剩 1132； 划分出 11 个凸多边形，面积合计 283.00 与可走格数×格面积逐位相等； 拉直把 8 点（代价 28.3095）压成 4 点（27.5727），且拉直之后再也拉不动一点。 而"为什么必须是凸的"有一条有分辨力的对照：面内任取两点的连线不出面 —— 正方形上 1000 对全过，L 形（凹）上1000 对里有 232 对出界。

本课题 5 课已全部上线（泛洪 → 猜一个数 → 剪枝 → 一次算完 → 从格到面）。