一个着色点接收到的光，有一部分来自别的物体反射的光；而别的物体，又接收到它反射的光。 要算清这一点，只能在场景里采样 —— 而一旦靠采样，就永远受 1/√N 支配。
这条骨架把 GI 收成三件事：在哪采样（探针 / 像素 / 路径）、采几次（一次反弹 / 多次反弹）、 怎么排（随机 / 分层 / 蓝噪声）。第 1 课量清了"不采样"的那一头（一次乘法、一次反弹、一屏深度）； 本课回答第一件：在哪采样 —— 不在像素上采，改在场景里采：插几根探针，把半球装进几个数。
上一课把三件事各自量到了边界：1.1 把间接光压成一次乘法（常数 × 可见度）、 1.2 让它真的跳一次（要全场景几何）、1.3 又把全场景换成只有一屏深度。 可有一件事从头到尾没动过：每条线都是从像素上发出去的 —— 一个着色点 16 条线，一屏 120 × 84 就是 161280 条。
真实画面里这个数字还要乘上分辨率：一帧几百万个着色点，每个都发几十条线，算不动。 于是退一步想：为什么非得在像素上采？ 光照在空间里是平滑的 —— 相邻两个像素看到的天几乎一样。那就别在每个像素上算，改在场景里插几根"天线"： 一根探针（probe）就是一个固定位置上的采样点，它把收到的那半个球存下来， 像素只是去查表。 本段只加一样东西：采样点从像素搬到探针。 三件事都是量出来的：① 便宜是按"射线数"算的：探针 8 × 8 = 64 个、每个 16 条方位线 = 1024 条， 而逐像素是 161280 条 —— 便宜 157 倍（判据①）；但直接光那一份省不掉： 每个像素还得自己发一条影子线，探针在这件事上帮不上忙（判据⑧）。 ② 代价是"糊"：查表出来的光照是插值出来的，误差集中在明暗交界（盒子轮廓）那一圈， 而且随探针加密会收敛（判据②、③）。 ③ 探针不认表面、也不认法线：它只知道"我这个位置收到多少光"—— 这一点在高度场里还看不出来（每个 (x,y) 只有一个面），换成真的三维场景就会变成 2.3 那三种错。 保真度如实标「示意 · 等价重现」：探针值与像素值都由本页按同一条算式算出来，件一框里那几行就是件二真正在跑的。
51 后缀省掉了，其余逐字）。
右列是它换来的两个数：省下多少条线、以及为此多出多少误差。
pv(i, j) 读的那个数，就是在探针位置上跑一次
第 1 课那个 aoAt（对每条方位求地平线角、取 cos²、再平均）。
本段没有换算法，只换了算的地方：从"每个着色点都算"改成"只在 PN² 个点上算，其余靠插值"。
所以探针值得来全不费工夫 —— 它和 1.1 的读数逐位相同（判据⑤）。
① 先看左块（逐像素）：它就是 1.1 那张 AO 图，每个像素自己算 —— 这是"算得最准"的那一版， 代价是 161280 条线。
② 看中块（探针查表）：整体很像，但盒子轮廓那一圈"糊"了 —— 明暗交界不再是一条边， 而是一段渐变。因为像素拿到的是插值：它把旁边两个数值不同的探针混在一起。 右块（差）把这件事画出来了：亮的地方全在轮廓附近，空地上几乎是黑的（判据③）。
③ 拖「探针密度」4 → 32：轮廓那一圈越来越细，误差一路降（判据②）。 但注意降到 32×32 = 1024 个探针时，射线数已经涨到 16384 条 —— 便宜是有代价的： 探针越密越准，也越贵。这条曲线就是这一类方法的全部取舍。
④ 把「插值」从双线性切成最近邻：中块立刻变成一块一块的格子（每个探针管一片）， 误差和最大差都变大，但只大 1.2 倍左右（判据④）。真正管用的还是加密： 换插值方式只买到 0.0066，加密一档买到 0.0104 —— 插值只能抹平，补不出没采到的信息。
⑤ 拖「太阳方位」：阴影转，而右块那块"差"不跟着转 —— 探针值（AO）本来就与光无关（1.1 量过），所以插值误差也是几何账。
⑥ 把「间接光强度」拖到 0：三块逐字节变得一模一样（判据⑧）—— 探针只经手间接光那一项；直接光那一份（阴影）两条路完全一样，探针省不掉它。
左：逐像素（自己算）｜ 中：探针查表 ｜ 右：两者之差（灰阶满量程 0.25）
启动中…
控件与上一段只多不少：两个滑块与两个开关逐字相同（L_amb、太阳方位、方位数、盒子数），
另加探针的两个开关：密度（探针插多密）与插值（查表怎么读）。它们加起来只是"在哪采、怎么读"，
不是新概念：本段只加了一样东西，就是采样点从像素搬到了探针。
定点观察（三步）：① 看中块盒子轮廓那一圈，与左块同一位置比 —— 那边糊成了渐变； ② 把探针密度从 8 拖到 32：那一圈变细、误差下降（判据②），但右列的射线数同时在涨； ③ 把插值切成最近邻：中块变成一块一块的格子，误差只大 1.2 倍 —— 结论：真正管用的是加密（换插值只买到 0.0066，加密一档买到 0.0104）； 插值只能把已知的抹平，补不出没采到的信息。
| 位置 | 逐像素（真值） | 探针查表 | 差 | 离最近探针的距离 |
|---|
| 插值 | 4×4 | 8×8 | 16×16 | 32×32 |
|---|
aoAt，查表 = 四个探针值按 fx, fy 加权。
这一段换了采样点在哪：从"每个像素自己采"换成"在场景里插几根探针，像素去查表"。
2.1 的探针很便宜，但它把整张环境图压成了一个数："这一点平均收到多少光"。 方向在那次积分里被丢掉了：两个探针可以读出完全相同的数，一个背后是一盏小灯， 另一个背后是一整片天光。
一个数只能喂给漫反射 —— 它就是"总量"，没有方向可用；要做高光、要把环境转起来、 要让同一个探针服务各个朝向的表面，就得把方向也存下来。 可又不能把每个方向都存一遍（那又回到 12800 个数）。办法是： 用一族固定的形状函数去逼近整张环境图，只存这些形状的系数—— 这族形状就是球面上的谐波（球谐，SH）：阶数越高，形状越细。 本段只加一样东西：把探针里那个数换成几个数（球谐系数）。 四件量出来的事：① 9 个数确实装下了整张图：12800 个方向压成 L=2 的 9 个系数，压缩 1422 倍（判据①）—— 但话要说实：重建出来的那张图并不像，平均差 0.17，而这张图上的天光本身才 0.66； ② 可它真正要拿去做的那件事却算得很准：同一份 9 个系数拿去算漫反射，相对误差最大只有 1.4%（判据⑤）—— "重建得像不像"与"光算得对不对"是两件事，这是整段的骨头； ③ 它的代价压在"又小又亮"上：太阳（6° 的盘）的峰值只留下 11%，加到 L=4 也只有 15%（判据③）—— 球谐装得下"平滑"，装不下一个点，这是它的适用范围，不是 bug； ④ 旋转在系数空间里做：把环境绕极轴转一个角度，系数只需做几次 2×2 旋转， 与"把图转过去再重新投影"一致到 浮点误差（判据④）—— 这是 SH 在实际工程里被选中的真正理由。 保真度如实标「示意 · 等价重现」：环境图与球谐都按定义在本页算出来，件一框里那几行就是件二真正在跑的。
shPass52 的正文，逐字未改）：
扫过整张图，把每个方向的亮度按形状函数累加到系数（投影）；再用这几个系数把图乘回来（重建）。
右列是它交出来的两个数，这两个数就是整段的结论：图重建得并不准、而真正要用的那个积分很准
（上面那个"重建平均差"跟着阶数走；下面那个辐照度误差固定在 L=2，取表②四个方向里最大的那一个
—— 所以它不随阶数变，这正是判据⑤要说的那件事）。
cos(仰角) 加了立体角权重，投影出来是对的）；
③ 系数只算到 L=4（25 个），再往上收益很小而代码会长得多；
④ 本段的"探针"只借用了 2.1 的位置概念，不涉及 2.1 的插值；默认站在空地 ——
换成"两盒之间"，太阳被盒 A 挡掉，图上就没有那个亮斑了（判据③会自己挑"看得见太阳"的那个探针去量）。
① 先看左块（真值环境图）：上面亮的是天，下面黑的是被盒子挡住的方向； 中间那个亮斑是太阳（只有 6° 宽）。注意它有多小、多亮 —— 记住它，它是本段的"反派"。
② 看中块（用 9 个数重建）：大块的明暗、地平线的高度都对上了，但太阳不见了 —— 它被糊成了一大片淡淡的亮。右块（差）把这件事画成灰阶：太阳那一块直接画满（差到 7.8，而满量程只有 2.0）， 其余地方还压着一层约 0.17 的浅灰 —— 那是九个低阶形状与"一片天光 + 一条硬地平线"之间差出来的余量。 两笔账都在，只是一笔亮得刺眼、一笔淡得几乎看不出。
③ 把「阶数」从 L=2 一路拖到 L=4：地平线慢慢变锐、平均差一路降（判据②报了每一档）， 但那个亮斑几乎不动 —— 峰值保留率只从 11% 挪到 15%。 要看清这件事：它永远追不上真值 —— 那是一个 δ 形状，需要无穷阶。球谐的适用面是"平滑的东西"。
④ 把「阶数」调到 L=2 与 L=3：重建的图明显不一样（L=3 更准）， 可是右边那个辐照度读数一个数字都不变（判据⑤）—— 因为 cos 那个核的奇数阶系数全是 0。 "重建得准"和"着色用得准"是两件事：我们要的从来不是把图重建出来，而是把那个积分算对。
⑤ 拖「绕极轴旋转」：整张环境图跟着转。旋转是在系数上做的（几次 2×2 旋转）， 不是把图转一遍再重新投影 —— 两者结果一致到浮点误差（判据④）。这就是 SH 在工程里被选中的理由： 环境的旋转可以事后做，不用重算。
⑥ 换「探针位置」（默认是空地）：移到"两盒之间" —— 地平线抬高、背后一大片被盒子挡住， 最要紧的是那个太阳亮斑整块没了（被盒 A 挡掉）。同一个场景、同一份天光， 探针站哪儿，它就存下哪儿的半球，而"存下来的半球"直接决定这几个系数长什么样。 也正因如此，"低频的代价"那一项只在看得见太阳的位置才量得出来 —— 判据③自己会挑那个位置去量。
左：真值环境图（方位 × 仰角）｜ 中：用系数重建 ｜ 右：两者之差（灰阶满量程 2.0）
启动中…
控件与上一段只多不少：两个滑块与"盒子数"逐字相同，另加球谐的两个开关 （阶数、绕极轴旋转）与一个探针位置开关 —— 前两个是"存多细"与"怎么转"， 最后一个只是"展开哪儿的半球"。不是新概念：本段只加了一样东西，就是把那个数换成几个数。
定点观察（三步）：① 先找到左块里那个小亮斑（太阳）， ② 把「阶数」在 L=2 与 L=4 之间来回切，盯住那个亮斑和地平线 —— 亮斑被糊成一片、边缘发毛， ③ 结论：球谐装得下"平滑"，装不下"又小又亮"；而把阶数从 2 调到 3， 右边那个辐照度读数一动不动（判据⑤：cos 核的奇数阶是 0）—— 说明"重建得准"和"着色用得准"根本不是同一件事。
| 阶数 | 系数个数 | 重建平均差 | 最大差 | 太阳峰值保留 |
|---|
| 方向 | 精确积分 | L=0 | L=1 | L=2 | L=2 相对误差 |
|---|
E(n) = ∫ L(ω) max(0, n·ω) dω。左边是逐方向精确积分（12800 个方向），
右边是用系数算的（E(n) = Σ Âl ck Yk(n)，每个方向 25 次乘加以内）。
注意 L=2 那一列与 L=3 完全一样：cos 那个核的奇数阶系数全是 0（Â3 = 0），
所以漫反射只需要偶数阶，而 L=2 已经吃掉了几乎全部。
把两张表并排看就是整段的结论：① 表①里 L=2 的平均差 0.17（图不像），表②里同一个 L=2 的相对误差只有 0.1–1.4%（光很准）
—— 差的不是精度，是我们问的问题。表①里"最大差"那一列可以到 7.8，比平均差大 45 倍：
那笔误差几乎全压在"太阳那几格"上，平均下来就被摊薄了。
这一段把 2.1 丢掉的那一维找回来了：方向。
2.1 与 2.2 讲的都是"探针里存什么"（一个数 → 几个系数）。可探针还有一半没碰： 它插在哪儿。前两段的探针都刚好躺在表面上 —— 每一个探针就在它服务的那个点上， 这是理想化。
真实工程里探针是插在场景里的一个规则格子上：格子是自己铺的，与几何无关； 而表面点只是借用附近探针的半球 —— 并不保证那个半球是"从它自己的位置看出去"的。 于是"探针站在哪儿"本身就成了一个自变量，三种错全从它来： ① 错位：探针不在表面上，它看到的半球就不是那个点该看到的 —— 抬高只会让它看得更多， 所以误差是单边的（只能偏亮）； ② 漏光：抬高 d 会让附近每个遮挡物挡住的角度变小；而一旦探针站得比某个遮挡物还高， 那个遮挡物就从它的视野里整个消失 —— 被它挡住的那一块于是变亮。★ 但这条曲线不是台阶： 它随 d 越抬越快地涨，涨到 d ＝ 场景里最高的那个遮挡物时彻底饱和（探针的半球里 一点几何都不剩，AO 恒等于 1）；矮的遮挡物先"失效"，高的后失效。这不是"越来越糊"，是一笔有方向的偏差； ③ 无穷远：探针的半球里只记着"某个方向有多亮"，不记那个东西离它多远 —— 所以"让表面点离探针更近"（加密探针）治不了前面两样：站错了地方，站得再密也还是错。 本段只加一样东西：让探针沿表面法线抬离表面 d。（d = 0 就是前两段的做法。） 三件量出来的事见下：判据①给"零位"，判据④给"饱和平台"，判据⑤给"矮的先失效"，判据⑥给"加密治不了"。 保真度如实标「示意 · 等价重现」：高度场、地平线、AO 都按定义在本页算出来，件一框里那几行就是件二真正在跑的。
aoZ53 的正文，逐字未改）：唯一的改动是
把观察点从表面抬到表面之上 d，然后照旧对每个方位求地平线角、取 cos² 再平均。
右列是它交出来的两个数：误差有多大、以及有没有格子比 d = 0 那一版更暗（那个数应该是 0）。
① 先看左块与中块（d = 0）：两块应该几乎一样 —— 中块就是 2.1 那一版。 判据①量的是这条"零位"：d = 0 时中块与 2.1 的探针查表逐字节相同。
② 把「探针抬离表面 d」从 0 慢慢拖到 0.5：盯住盒 A 西侧那条窄带（画面上盒 A 左边的那一小条）。 它本来偏暗，越抬越亮，而且越抬涨得越快；到 d = 0.30（盒 A 的高度）时它等于整片天 —— 再往上拖，画面一个字节都不变了（判据④：d = 0.30 时 64 个探针的值全等于 1； d = 0.31 与 0.40 的画面逐位相同）。★ 顺带看一眼盒 B 旁边那片地：它在 d = 0.16 那阵子就已经漏得差不多了 （判据⑤：漏光进度 91%），而盒 A 旁边那片地到那时才 24% —— 矮的遮挡物先"失效"。
③ 看右块（差）：把 d 拖大之后它整块变亮，却不会冒出"比 d = 0 那一版更暗"的格子 （右列那个读数恒为 0，判据③）。★ 这里要分清楚：右块画的是"探针 − 真值"， 而真值那一栏在 d = 0 时就带着 2.1 的插值误差（两边都会偏）；判据③比的是 "抬高后的那一版"对"不抬高的那一版" —— 那才是一笔干净的、只增不减的账。
④ 把「探针密度」从 8×8 一路拖到 32×32：格子间的过渡变细了、误差也降了一点， 但那条亮带还在 —— 加密只是让"借来的半球"更连续，借的位置并没有变对。 判据⑥把这件事量成一句可核的话：最密的一档下，d = 0.4 的误差仍是 d = 0 的好几倍。
⑤ 把 d 拖回 0，再拖上去：反复几次就能看出这不是"越来越糊" —— 它一直在往同一个方向偏（只偏亮），而且涨到某个高度就停了。停在哪儿由场景里最高的遮挡物决定 （这里是盒 A 的 0.30），跟探针多密、画面多大都无关。
左：逐像素（真值）｜ 中：抬离表面 d 的探针查表 ｜ 右：两者之差（灰阶满量程 0.5）
启动中…
两个盒子的高度：盒 A 0.30 · 盒 B 0.16 —— d 拖过它们时会各有一个台阶。
控件与上一段只多不少：两个滑块与"盒子数"逐字相同， 另加本段的一个新变量（探针抬离表面 d）与一个从 2.1 原样搬来的开关（探针密度，四档逐字相同）。
定点观察（三步）：① 看盒 A 西侧那条窄带； ② 把 d 从 0 拖到 0.5，盯住它 —— 一过 0.30 就整块亮起来； ③ 再把密度拉到 32×32，它还是亮的。结论：漏光来自"站在哪儿"，加密治不了它； 而 2.1 量到的"糊"来自"离得多远"，加密治得了。这两件事必须分开。
| d | 探针值平均增量 | 画面平均差 | 盒 A 西侧 漏光进度 | 盒 B 东侧 漏光进度 |
|---|
| d | 4×4 | 8×8 | 16×16 | 32×32 |
|---|
L_amb = 0.35 / 太阳 135°），免得读者随手一拖就以为判据错了。
这一段把探针的"下半句"说完了：前两段问它存什么，这一段问它站在哪儿。
本段的活例由本页自己计算（示意 · 等价重现，非硬件产出）：不依赖 WebGPU，任何设备都能跑。同一页的示意图与数值表照常可读。
页面版本 v3（v1 = 2.1「在场景里插一根"天线"」· v2 = 2.2「九个系数装下整个半球」·
v3 = 2.3「探针的三种错」；本课三段到此全部上线）。
【2.1】只加一样东西：采样点从像素搬到探针 —— 同一个 aoAt（1.1 那一刀，逐字不改），
从"每个着色点都算"改成"只在 PN² 个点上算"，其余像素查表。量到：① 便宜按射线数算
（8×8 = 1024 条 vs 逐像素 161280 条，157.5 倍），而直接光那一份省不掉
（判据⑧：L_amb = 0 ⇒ 两块逐字节相同）；② 误差随密度收敛（0.0630 → 0.0359 → 0.0255 → 0.0162）；
③ 误差有形状（集中在明暗交界，最大档是平移区的 4.0 倍）；④ 插值只能"抹平"不能"补信息"
（换插值只买到 0.0066，而加密一档买到 0.0104）。
【2.2】只加一样东西：把探针里那个数换成几个数（球谐系数）。12800 个方向的环境图 → L=2 的 9 个系数
（压缩 1422 倍）。量到：① "重建得像"和"光算得对"是两件事（重建平均差 0.1714、最大差 7.7687，
而同一份系数算漫反射的相对误差只有 1.42%）；② 阶数收益递减（0.3534 → 0.1253）；
③ 低频的代价压在"又小又亮"上（太阳的峰值保留率 L=2 只有 11.4%）；
④ 旋转在系数空间里做（与"转图再投影"最大差 4.7e-10）。
【2.3 这一段】只加一样东西：让探针沿表面法线抬离表面 d（d = 0 就是前两段的做法 ——
此时中块与 2.1 的探针查表逐字节相同）。探针里存的仍是一个数（AO），这一段问的只有"它站在哪儿"：
① 错位只偏亮：抬高只会让探针"看得更多" ⇒ AO 只增不减，"比 d = 0 变暗"的格子恒为 0；
② 漏光随 d 越抬越快，且有一条平台：d 高过场景里最高的遮挡物（盒 A 的 0.30）之后，
探针的半球里再没有任何几何（64 个探针的值全等于 1），画面逐位不再变；
而矮的遮挡物先"失效" —— d = 0.16（＝盒 B 的高）时，B 旁边那片地的漏光进度已 91%、A 旁边那片才 24%；
③ 无穷远 ⇒ 加密治不了：最密的一档下，d = 0.40 的误差仍是 d = 0 的好几倍 ——
那笔错不在"隔得远"，在"站错了"。
判据八条：① 零位（d = 0 与 2.1 逐位 / 逐字节相同）／ ② 探针只增不减（六档逐个体检）／
③ 画面只增不减（变暗格数 0）／ ④ 饱和平台（d = 0.30 时 64 个探针全为 1；0.31 与 0.40 逐位相同）／
⑤ 矮的遮挡物先失效（d = 0.16 时漏光进度 91% vs 24%）／ ⑥ 加密治不了／
⑦ 画面（写入格子数、非黑占比、非法值 0、探针标记）／
⑧ 同源（件一框里那几行就是 aoZ53 的正文；且 horizonZ53 在 z = 表面高度时
与共享基线的 horizonA 逐位相同，aoZ53(p, 0) 与 aoAt 也逐位相同）。
★ 与第 1 课共享同一张高度场 hgt、同一个 horizonA、同一个 aoAt、同一个 byte41/曝光 ——
四份函数一处不差，所以"探针只是换了算的地方"这句话是能验的。
★ 如实标：① 探针网格是规则的（不是按几何自适应摆的）；② 高度场是 2.5D ⇒"沿表面法线抬高"在这里就等于
竖直抬高（法线处处朝上）；③ 盒子的一次反弹没有算进环境图（那是 1.2 的事）。
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