一个着色点接收到的光，有一部分来自别的物体反射的光；而别的物体，又接收到它反射的光。 要算清这一点，只能在场景里采样 —— 而一旦靠采样，就永远受 1/√N 支配。
这条骨架把 GI 收成三件事：在哪采样（探针 / 像素 / 路径）、采几次（一次反弹 / 多次反弹）、 怎么排（随机 / 分层 / 蓝噪声）。第 1 课量清了"不采样"的那一头， 第 2 课回答了第一件：在哪采样（探针 + 球谐，顺带量了它的三种错）。 本课回答第二件：采几次 —— 从一次反弹开始，而它有一个精确的入口：镜子。
前两课问的都是"光从哪儿来"：1.1 把它压成一次乘法、1.3 换成眼前一屏的深度、 2.1–2.3 把它装进探针。它们全都在算入射。可骨架说的是另一件事 —— 光打在物体上会再飞出去，那个"再飞出去"的光，才是 GI 的本体。
要从"只算入射"跨到"光会再飞出去"，最干净的入口是镜子：它把这件事做成了一条精确的几何命题 —— 镜面上每一点，只用一条反射线就够了（大学光学第一节课的内容）。 于是"一次反弹"在这里第一次有了一个能对答案的版本：参数化一支反射线， 逐点求交算出画面；再拿工程上真在用的做法（把相机搬到地板下面）去对 —— 两条路应当一模一样。 本段只加一样东西：一个能把地面法线扳歪的旋钮（镜面波纹 κ）。 κ = 0 就是一块平镜 —— 此时两条路逐像素相同（判据①）； 而 κ 一旦不为 0，那句"把相机搬过去就够了"就开始说错话，错多少正是本段要量的东西。 三件量出来的事见下：判据①②给"平镜时是恒等式"，判据④⑤给"弯了差多少"， 判据⑥给"一次"这两个字的确切含义 —— 反射线只追一次，所以镜子里看不到"镜子里的镜子"。 保真度如实标「示意 · 等价重现」：整页是一台逐像素自算的光线投射器（CPU），不依赖 WebGPU； 件一框里那几行就是件二真正在跑的。
mirrorDir31 的正文，逐字未改）：
它给出"打到地面的射线该往哪走"，而它内部有两条路 ——
r1 是教科书里的按法线反射，r2 是工程上真在用的"把眼睛搬到地板下面"。
右列是它交出来的两个数：两条路差多少度、以及画面差多少。
① 先看左块（真值：逐点按法线反射）：地面是一面镜子，盒子的侧面倒映在里面， 远处映出的是天。这就是一次反弹 —— 反射线跑到盒子上就停了。
② 把「镜面波纹 κ」从 0 拖到 0.30：左块里镜面开始起波纹，倒影被扯歪； 而中块（把相机搬过去的做法）还是那么干净 —— 两块开始不一样，右块亮起来。 结论："搬相机"这句话的精确性，完全押在"地面是平的"上。
③ 把 κ 拖回 0：右块整个黑掉（判据①：两条路逐像素相同、一个格子都不差）—— 这不是"差不多"，是恒等式。
④ 转「眼位方位」：相机绕着场景走，倒影跟着走 —— 因为镜面里看到的世界 等于"从 E′ 看到的世界"，而 E′ 是 E 的镜像，它跟着动。
⑤ 把「天光强度」拖到 0：镜子里那片天黑了，可盒子的倒影还在（它靠的是太阳）—— 说明镜面只是把已经有的光搬了个位置，它自己不发光（判据⑧）。
左：逐点按法线反射（真值）｜ 中：把相机搬到地板下面 ｜ 右：两者之差（灰阶）
启动中…
κ = 0 是一块平镜（两条路逐位相同）； κ 越大，地面法线的倾角上限越大（几何仍是平的 —— 这是"水面"的模型）。
控件与前两课只多不少：两个滑块与"盒子数"逐字相同； 另加本课新装的两样装置各一个旋钮 —— 相机（眼位方位）与镜面（波纹 κ）。 本段真正的新变量只有一个：κ。
定点观察（三步）：① 看左块地面里盒子的倒影； ② 把 κ 从 0 拖到 0.30，看右块从全黑变成一片亮； ③ 结论："把相机搬到地板下面"只在平面镜上成立 —— 镜面一弯，它给出的方向就与逐点反射分开了，而左块（逐点反射）才是对的。
r1（按法线反射，逐点求交），
中 = r2（把眼睛搬到地板下面，再看那个方向），右 = 两者的色差（灰阶）。
P − E′ 与
D − 2(D·n)n 正好平行（件三表②逐点列出来，夹角一栏恒为 0）——
所以两条路走的是同一条线，追到的是同一个物体。
| κ | 方向夹角 平均 / 最大（度） | 右块平均色差 | 右块最大色差 | 法线最大倾角（度） |
|---|
| 地面点 P | 法线 N | r₁ 按法线反射 | r₂ 从 E′ 看 P | 夹角 |
|---|
P − E′ 与反射方向 平行（因为 E′ 就是 E 关于镜面的镜像）——
表里"夹角"那一栏因此恒为 0。第三列与第四列看起来是两个不同的向量，
但它们是同一个方向的两种写法（只差一个正的长度因子）。
acos 算，
所以 κ = 0 那一行显示 0.0000° 而不是"逐位相同"——
逐位相同那一句是画面的（判据①数的是格子），两者不要混；
② 表里的数不随画面上的滑块变（判据在固定的那套配置上评估），免得读者随手一拖就以为判据错了。
这一段第一次让"光会再飞出去"变成一件能对答案的事，入口是一面镜子。
P − E′ 与按法线反射的方向正好平行。所以工程上画平面反射的办法是
—— 把场景再渲染一遍（相机搬到 E′），把结果贴到镜面上。3.1 的地面是一面完美的镜子：每个像素一条反射线，方向精确 —— 所以才有"把相机搬过去就够了"这条恒等式。可真实材质没有一面是完美的：打磨过的金属、水波、塑料， 反射方向总要糊开一片。
一旦糊开，"一条线"就不够了：那个方向上的答案只是这一片里一个点的抽样。 最直白的做法是多抽几条—— 但那就把 3.1 好不容易省下的"一条线"又赔回去了。 工程上的做法是另一条路：先把"环境"这张图按模糊程度预先糊好几份，再照旧只查一条线， 而糊到哪一份，按粗糙度选 —— 这正是 mip 那一套（连"多花 1/3 存储"这笔账都一样）。 本段只加一样东西：粗糙度 α。（α = 0 就是 3.1 那面完美镜。） 三件量出来的事见下：判据①②给"α = 0 时两条路逐位相同、α 一大就分开"， 判据④⑤给"预先糊好的那张图能顶上多少、层级该怎么选"，判据③⑥给画面与这笔账的价钱。 保真度如实标「示意 · 等价重现」：环境图、预滤波链、粗糙度分布都按定义在本页算出来； 为了把"糊"这件事单独拎出来，本段把"反射线上打到什么"换成了一张预先拍好的全景图 —— 也就是一枚反射探针（真机上这一步就是预先烤好的）：一次拍完整个球，之后每个像素只查表。 代价是视差（一枚探针要服务横跨 2.5 × 2.4 的一整片地面，本页实测平均视差 0.94）—— 换来的是"糊"可以预先做掉。
roughColor32 的正文，逐字未改）：
先按法线算出那一条反射方向，再按粗糙度选一层、只查一次。右列是它交出来的两个数：
不糊会有多错、以及选对层级之后还剩多少错。
null，
盒子会整块"消失"而画面照样有内容、门禁也照样绿 —— 所以这一条写成了判据③里的哨兵；
④ 全景图拍的是整个球（真探针就是拍整个球），所以"地平线"处没有突变；但反射瓣只统计朝上的样本
（地面只接从上面来的光）—— α 一大就有一部分样本落到水平面以下被切掉（判据⑤报了这个数），那属于"又弹回地面"，本段不追；
⑤ 多采样那一路用的是分层采样（不是随机），所以左边那块几乎是干净的 —— 随机采样会带来噪声，那是第 4 课的事。
① 先看左块（多采样，N = 6 × 6 = 36 条线）：α 小时地面是锐利的倒影；把 α 拖大， 倒影糊成一片。这一块是"老实做法"，代价是每像素 36 条线。
② 看中块（一条线 + 预滤波）：它跟着一起糊，而且几乎与左块一样 —— 可它每像素只查了一条。右列两个读数就是这笔交易的价钱：不糊硬查那条线，误差有多大； 选对层级之后，误差还剩多少。
③ 把 α 一档一档拖过去：右块会在跨过某一档时轻轻跳一下（因为层号是整数）—— 这就是 mip 那个老现象：层内误差随 α 偏离而增大，一跨层就跳回去。
④ 看件三表②：它把"每个 α 该选哪一层"直接摊开（每个 α 一行，六层各一个误差， 最小的那个加粗）。该选哪层不是猜的，是量出来的 —— 表里那一条斜线就是"越粗糙、层越糊"。
⑤ 把「粗糙度」拖回 0：三块逐像素相同（判据①）—— α = 0 时那"一片"缩成了一个方向， 一条线又够了。
左：按分布抽 36 条线求平均（参照）｜ 中：一条线 + 预滤波 ｜ 右：两者之差（灰阶）
启动中…
α = 0 是完美镜（一条线就够）； α = 1 时反射方向糊开一大片，锐利的倒影全糊掉。
控件与上一段只多不少：天光、太阳方位、眼位、盒子数逐字相同 （上一段的"镜面波纹 κ"在本段固定为 0 —— 地面是平的，这一段只问"糊"）， 另加本段的新变量（粗糙度 α）与一个用来"故意选错一层"的开关。
定点观察（三步）：① 看左块地面里那片倒影； ② 把 α 从 0 拖到 1，看它糊成一片； ③ 再看中块 —— 它也糊了，而且只花了一条线。结论："糊"可以预算好， 不必每个像素多抽几条线；要糊到哪一层，按粗糙度选（件三表②那一条斜线）。
| α | 只用一条线（不糊） | 选对层级后 | 误差压到 1/N | 层号 | 错一层最少涨 |
|---|
| α | 层 0 | 层 1 | 层 2 | 层 3 | 层 4 | 层 5 |
|---|
∞ = 选错就完全不对）。
α = 0 那一行前两列都是 0（判据①）。
这一段把"反射"从一条线变成一片方向，并量出了它的价钱。
null，全景图里盒子整块消失，
而画面照样有内容、门禁也照样绿（这类错只能靠"量全景图里各拍到多少"抓出来）；
第二版放在地面上、盒子外面，但离得太远 —— 反射全是天，"糊不糊"几乎没区别；
最后选中 (0.60, 0.40)：反射方向里有 44% 打到盒子（既有结构、又不是一堵墙）。
而它的价钱也照实报：探针要服务的地面点平均在 0.94 开外，跟 3.1 那条精确反射线逐格比平均差 0.20
（判据①）—— 这就是"从逐像素追线退到查一枚探针"换来的东西。3.1 的镜子和 3.2 的粗糙镜子，都是"光撞到东西之后再走一步"。 3.1 甚至把"再走一步"数清楚了：有 5.8% 的格子反射方向指回地面 —— 一次反弹没有第二段可追，那一份光就被扔了。可真实的房间呢？光撞到墙、墙再撞到墙， 同一份光可以走很多步。
更要紧的是：被扔掉的往往不是"边角料"。房间里最暗的角落恰恰是被挡得最多的地方 ——
它看不见天、也常常晒不到太阳，可它的四面八方都是墙，而墙自己也在发亮。
"一次"只把光从邻居搬一趟；现实里这一趟要走很多次，而每多走一次，暗角落就再亮一点。
本段只加一样东西：间接反弹次数 N。
装置也随之换了一处（如实声明）：地面与盒子从 3.1 / 3.2 的镜面换成白墙（漫反射，ρ = 0.85）
—— 镜子把光原样弹走、不留一点"多次"的证据；白墙收到光会自己再发出去，"多次"这才有意义。
做法也彻底换了：把场景切成一片片面片，算出每片"看得见谁"（形状因子），
然后把"发出去的"接回"收进来的"，一遍收集就是多一次反弹 —— 旋钮 N 就是收集的遍数。
保真度如实标「示意 · 等价重现」：面片常数辐射度、方向是分层抽出来的，两条边界都写在判据里。
bounce33 与 once33 的正文，逐字未改）：
每一遍都把"邻居发出来的光"收一遍，再乘 ρ 发出去；跑 N 遍就是"多 N 次反弹"。
右列是它交出来的两个数："一次"在总账里给的份额、以及"两次及以上"给的份额。
① 先看左块（N = 0，只有直接光）：太阳照得到的地方是亮的，影子是纯黑的 —— 那里既没有太阳，也没有任何人给它光。这就是"一次都没弹"的世界。
② 把 N 从 0 拖到 4：中块从影子开始亮起来，而太阳照得到的地方几乎一动不动—— 一眼就能看出"多出来的光落在哪儿"。
③ 盯住右块（两者的差）：那层"补回来的光"在贴着盒子脚那一圈最亮 —— 墙脚、两块盒子之间那条缝。开阔的地面上，这一层几乎是空的。
④ 看件三表②：它把"反弹在总账里占多少"直接摊开 —— 缝隙带收到的光里只有 17.8% 来自"一次"，另有 24.4% 要两次以上才到得了； 而离墙远的那条带，这两个数是 6.9% 与 9.6%，全场面片平均只有 2.5% 与 1.1%。 多弹几次，涨得最狠的正是被挡得最多的地方（缝隙带整体涨 1.73×，全场只有 1.04×）。
⑤ 把「天光强度」拖到 0（只剩太阳）：影子在 N = 0 时是 0，N ≥ 1 才有值 —— 因为这时"被挡掉的方向"上不再有天，只剩墙；而墙的那份光，正是"一次反弹漏掉"的那份。
左：只有直接光（N = 0）｜ 中：跑 N 遍 ｜ 右：两者之差（灰阶）
启动中…
N = 0 是只有直接光（影子纯黑）； N = 4 之后画面基本不动了（判据④给出了"每多一遍只剩多少"）。
控件与上一段只多不少：天光、太阳方位、眼位、盒子数逐字相同。 上一段那两个开关（粗糙度 α、层号差一档）在本段不再有意义 —— 因为装置换成了白墙，"镜面"这件事整段都不见了；本段唯一的变量是那个新旋钮：间接反弹次数 N。
定点观察（三步）：① 看右块（差）里最亮的那一圈； ② 把 N 从 1 拖到 4，看那一圈怎么一点点被填平； ③ 再把天光拖到 0 —— 影子在 N = 0 时是 0，N ≥ 1 才有值。 结论："一次"漏掉的光，几乎全落在被挡得最多的墙脚与缝里， 而那里恰恰是 AO 判它最暗的地方。
ρ·E/π 比过：逐位相同。
| N | 全场 | 缝隙带 | 缝隙带涨了 |
|---|
| 带 | 天可见度 | 一次给的 | 两次及以上给的 | 多弹涨了 |
|---|
| 由 N 到 N+1 | Δ 平均 | 与上一遍之比 |
|---|
这一段把"一次反弹"与"多次反弹"并排，量出了一次到底漏掉了什么。
bounce33 里那次循环。本段的活例由本页自己计算（示意 · 等价重现，非硬件产出）：不依赖 WebGPU，任何设备都能跑。同一页的示意图与数值表照常可读。
页面版本 v3（课题四第 3 课「反弹一次」：三段全部上线 ——
3.1 镜面反射 / 3.2 粗糙反射 / 3.3 一次反弹漏掉了什么，本课收束）。
3.1 这一段只加一样东西：镜面波纹 κ。世界是前两课那个世界，但第一次给它装上相机与镜子：
地面成了一面镜面，每个像素的主射线打到地面上要按法线反射，再往前追一次就停。
量出来的四件事：
① 平镜时"搬相机"是恒等式：κ = 0 时"按法线反射"与"把眼睛搬到地板下面（E′）"两条路
在整块画面上逐像素相同（差 0 格），方向夹角平均 0.0000°；
② 弯了就分开，而且分开的量与 κ 成正比：κ 从 0 扫到 0.30，平均色差 0 → 0.0228 → 0.0446 → 0.0679 → 0.0892
（"色差 ÷ κ"是一个常数，最大偏离 5% 以内），而两条路的方向夹角正好是法线倾角的 2 倍
（判据⑤实测比值 1.997）—— 所以"镜面反射 = 镜像相机"只能用在平面镜上；
③ "一次"是可以数的：反射线只测盒子与天、从不测地面 ——
所以"镜子里看不到镜子里的镜子"不是形容词，是个数得出来的事实（反射线穿到地面以下的条数恒为 0）；
而这条边界本身也会自己露头：κ 拖到最大时有约 5% 的格子"反射方向指回地面"（一次反弹没有第二段可追，
本页按"映到天"处理 —— 那个数判据⑥也照实报出来了）；
④ 镜面只搬光、不发光：把天光关掉，镜子里的天黑了，可盒子的倒影还在。
判据八条：① 零位（κ = 0 时两条路逐像素相同）／ ② 恒等式（逐点验 P − E′ ∥ r₁）／
③ 画面（写入格子数、主射线数、非法值 0）／ ④ 两边路分开且随 κ 单调增／
⑤ 夹角 = 2 × 法线倾角（实测比值 1.997，可笔算一例）／ ⑥ 一次反弹（地面从不出现在反射线里，并照实报出边界）／
⑦ 同源（件一框里那几行就是 mirrorDir31 的正文，重算逐位相同）／
⑧ 天光关掉后镜子里的天也黑（镜面不发光）。
3.2 这一段只加一样东西：粗糙度 α。3.1 的镜子是完美的（一条反射线就够），
真实材质要糊开一片；本段把"反射线上打到什么"从逐像素追线换成一枚预先烤好的反射探针
（128 × 64 的全景图，从地面上一个固定点拍出去），然后把它逐层糊成一条链、按 α 选一层，
像素那边永远只查一条线。量出来的四件事：
① α = 0 时"一条线"与"36 条线的答案"逐格相同（那一片缩成一个方向，是恒等式）；
而同时它和 3.1 那条精确反射线并不逐位相同 —— 平均差 0.20，那就是"改用一枚探针"的价钱
（探针要服务的地面点平均在 0.94 开外，视差如实报出）；
② α 一大，"一条线"就分开，而且单调变坏：只用一条线的平均色差 0 → 0.0302 → 0.0840 → 0.1329 → 0.1775 → 0.2192
（α 从 0.2 到 1.0 涨 7.3 倍）；
③ 求平均可以预先做：把环境糊成一条链（总存储 ×4/3 = 1.3330），按 α 选一层后误差压到
1/1.69 ～ 1/7.74（随 α 单调变大），而多采样是每像素 ×36；
④ "该选哪层"是量出来的：α 从 0 走到 1，层号 0 → 3 → 4 → 5，每个 α 的"误差 vs 层号"都是
单谷的；选偏一层最少涨 1.19×，α = 1 时涨 3.79×（α = 0 时选错就完全不对）。
判据八条：① 零位 + 探针的价钱／ ② 单条线误差随 α 单调增／ ③ 画面（含"探针不在盒子里""反射方向全朝上"两条哨兵）／
④ 层号单调加深、误差-层单谷、选错一层有代价／ ⑤ 预滤波把误差压下来且随 α 单调变大／ ⑥ 存储 ×4/3 vs 每像素 ×36（可笔算）／
⑦ 同源（件一框里那几行 = roughColor32 的正文，重算逐位相同）／ ⑧ 探针只搬光、不发光。
3.3 这一段只加一样东西：间接反弹次数 N。装置换了一处（如实声明）：地面与盒子从"镜面"换成
白墙（漫反射 ρ = 0.85）—— 镜面把光原样弹走、不留一点"多次"的证据；白墙收到光会自己再发出去，
"多次"才有意义。做法是把场景切成 2876 个面片、算出每片"看得见谁"（形状因子，每片 24 条方向），
然后把"发出去的"接回"收进来的"——一遍收集就是多一次反弹。量出来的四件事：
① N = 0 就是"每个面片的出射 = 直接光 × ρ"（对 2876 × 3 个通道逐位与解析式相同）；
② "一次"漏掉的光几乎全落在影子里：多弹几次，缝隙带整体涨 1.73×，而全场面片平均只涨 1.04×；
③ 反弹在总账里的份额：缝隙带收到的光里 17.8% 来自"一次"、另有 24.4% 要两次以上才到得了；
离墙远的那条带是 6.9% / 9.6%，全场面片平均只有 2.5% / 1.1%；
④ AO 错在哪，被量化了：AO 把"被挡掉的那 46.5% 个方向"当成没有光，于是说缝隙只有外圈的
0.661 倍亮 —— 而真实收敛值是 0.963 倍，判暗了 0.30（相对 46%）。
判据八条：① 零位（N = 0 = 直接光 × ρ）／ ② "一次"让影子不再等于直接光／
③ 画面（含"打到东西的格数""两遍逐字节相同"）／ ④ 一遍比一遍小且都在上一遍的 0.36 以下／
⑤ ★ AO 与真实的对比（主判据）／ ⑥ 白炉（环境处处 L = 1、ρ = 1 ⇒ 恒等于 1，可笔算）／
⑦ 同源（件一框里那几行 = bounce33／once33 的正文，重算逐位相同）／
⑧ 抽样误差怎么落：本页"分层 + 低差异"≈ 1/M（实测 1/4.15、1/3.28），
伪随机才是 1/√M（1/1.96、1/1.80）—— 下一课那句 1/√N 就落在这里。
★ 与前两课共享同一个场景（同一组盒子坐标与高度、同一个太阳高度角与方位约定）——
所以"这是同一个世界，只是第一次从别处看它"这句话是能对上的。
★ 如实标：① 本页是 CPU 光线投射器（逐像素自算），不依赖 WebGPU；② κ 只改地面法线、
不改地面形状（几何仍是 z = 0）—— 这是"水面"的模型；③ 反射线只追一次，不递归；
④ 3.2 的反射瓣只统计朝上的样本（地面只接从上面来的光），α = 1 时约 34% 的样本被水平面切掉；
⑤ 3.2 的全景图只有 128 × 64，最糊那层是 4 × 2；
⑥ 3.3 的每个面片只有一个数（常数辐射度），所以窄缝里的渐变是分段的，而且只算到"撞到东西"为止。
｜ 看不到新内容时请硬刷新（Ctrl+Shift+R），或给地址加 ?t=N —— 本站的 HTML 不带缓存指令。