物理建模合成：几十行写一根弦

全课题骨架：采样不是"取点"，是"用一串离散值 + 一个重建核，去猜那个连续的东西"。
前两课在采一个已经存在的东西：先看清"多采几个点为什么不是答案"，再拆开"先滤再采"里那台滤波器。 这一课反过来 —— 不去采一根弦，而是用一条几十个采样长的环形延迟线，把一根弦"长"出来： 音高由"这一圈走几拍"决定，衰减由"环路里那个滤波器"决定。整件事在 1978 年被 Alex Strong 想出来， 1983 年由 Karplus 与 Strong 发表，当时的卖点是"只需要加与移位"—— 几十行、没有乘法。
四段路：环的长度定音高（18.1）→ 环路滤波器让高频先走（18.2）→ 滤波器的形状决定衰减时间（18.3）→ 拨的那一下决定哪些谐波根本没被激发（18.4）。
★ 本页同样不发声（判据必须能在这里逐样本复算）：画面画的是环形缓冲里那一圈采样（弦的形状） 与频谱 / 单圈增益 / 衰减包络。想听的话，把 18.1 件一里那六行按 8000 Hz 塞进 AudioBuffer 播一遍即可 —— 但本页不声称页面上的数与"你会听到的数"逐位相同（浏览器会按上下文采样率重采样，这条在第 1 课已写明）。 保真度：真机可证（可测） —— 整根弦逐样本算，四张表、十条判据都能离线复算。 一手源：Karplus & Strong 1983（算法本体与"周期 = p + ½"）、Jaffe & Smith 1983（同一期的配套论文：单圈增益、环长、T60）、 J. O. Smith《PASP》（初值取白噪声 / KS 是波导特例 / 反馈环对增益失真的敏感）、拨弦点的梳状零点（Penn State 与 Am. J. Phys. 84）。

（脚本启动中…）

定点观察：（脚本启动中…）

（按「跑一遍读数」看当前这一档的四个谐波；按「扫一遍环路延迟」看六档 p 的实测音高）

本帧的读数

（脚本启动中…）

18.1 一根弦就是一个延迟线：环的长度定音高

本段只增加一样东西：环路延迟 p（旋钮 = p；其余控件与本课起点相同，滤波器固定在"两点平均"、g = 1）。
上一段的缺口：前两课的滤波器都是"给 f₀ 与 Q、反解出五个系数"来的解析设计。可"拨响一根弦"这件事 —— 一根金属弦被拨片推了一下，然后自己响了十几秒 —— 能不能不设计任何滤波器、几十行就得到？
Karplus-Strong 的做法只有两步：① 往一条环形缓冲里填一段随机数（"拨"的那一下）；② 之后每走一步， 把缓冲里相邻两点加起来除以二，写回最老那一格（"弦"自己往下传）。原论文原话：这"只需要加与移位"。
★ 于是 p 是这一课最像"弦长"的那个旋钮：缓冲要装 M = p + 1 个槽 —— 可这一圈真正走几拍，不是 M。原论文自己写着：音高"对应一个 p + ½ 个采样的周期"（f_s/(p + ½)）。 那半个拍是那个"相邻两点平均"贡献的相位延迟（18.2 会把它单独量出来）。
★ 能拿笔核：f₁ = f_s/(p + ½)。p = 40、f_s = 8000 ⇒ 197.5309 Hz； 若按"缓冲槽数"算会得到 8000/41 = 195.1220 Hz —— 差 0.4%，而两条独立路线（自相关 / 加窗 FFT）都站在 197.5 这一边（差 ≤0.02%）。
★ 副观察（它是这一课最干净的一条"精确"判据）：把滤波器换成"不滤"，一圈恰好走 M 拍， 波形会每 M 个采样逐位重复（实测 lag = 41，差 0）；而一加上两点平均，环长成了 40.5 —— 这是一个非整数，波形从此再也不会逐位重复（实测在 2…4M 内找不到任何 lag）。

18.2 每一次绕圈，高频先走：环路滤波器的形状

本段只增加一样东西：环路滤波器档（旋钮 = 不滤 / 两点平均 / 四点平均；p 沿用上一段、g 仍为 1）。
上一段的缺口：18.1 量到"一圈走 p + ½ 拍"—— 那半个拍是从哪冒出来的？就是那个"相邻两点平均"贡献的相位延迟。 可它既然会改相位、那就一定还有另一半作用没看：它对不同频率的增益也不一样。
★ 一段噪声为什么会被听成"一根弦"？因为延迟线让每一圈都叠起来 —— 只有那些"一圈正好走整数倍波长"的频率 能站住（就是 f₁ 的整数倍），于是噪声成了一排谐波。而每一圈都要过一次那个滤波器， 于是每个谐波的幅度每圈就乘一次 |H_a(f)|：高频乘得少、低频乘得多，这就是"衰减"的全部来源。
★ 能拿笔核（Jaffe & Smith 1983）：两点平均档 |H_a(f)| = |cos(π f T_s)|； 四点平均档（两级串联）cos²(π f T_s)；不滤档恒为 1。 第 8 次谐波（1560.98 Hz）单圈 0.813552，绕 20 圈只剩 1.61e−2； 而同一档的第 1 次谐波 20 圈后还有 0.942 —— "高频先走"就是这一列数字。
★ 副观察（本段的彩蛋）：不滤档 12 次谐波的"末/首"= 0.9775（一路平 —— 原论文原话说这样听起来像簧风琴）， 两点平均 0.3228，四点平均 0.1483；而音高：不滤 195.1220 Hz、两点平均 197.5309 Hz、 四点平均又回到 195.1220 Hz —— 因为两个 ½ 拍的相位延迟相加正好是 1 拍，反把音高还回来了。

18.3 滤波器的形状决定衰减时间

本段只增加一样东西：环路增益 g（旋钮 = g，0.9000 … 0.9999；滤波器固定在"两点平均"、p 沿用上两段）。
上一段的缺口：18.2 说了"高频衰减得快"，可具体多快？把整个环的增益写成 G(f) = g · |H_a(f)|，每绕一圈乘一次 G，于是每个谐波都是一条几何衰减， 它的时间常数与 −60 dB 时间有闭式（Jaffe & Smith 1983 式 3–5、9）。
★ 能拿笔核：τ(f) = −(p + ½)·T_s / ln G(f)、t60(f) = ln(1000)·τ ≈ 6.91 τ。 p = 40、g = 1 时基频 τ = 1.681006 s、t60 = 11.61198 s；第 8 次谐波只有 0.16948 s —— 相差 68 倍， 这正是原论文那句"第 n 次谐波的衰减时间大致 ∝ p³/n²"（页面下方把这条指数律做成了实测的 log-log 斜率：−2.04 与 +2.98）。
★ 本段最该带走的一条：τ ∝ 1/(−ln G) —— 这个 1/ln 把增益的小变化放大成千百倍 （g = 1 时 1/(−ln G) ≈ 330）：g 只从 1 降到 0.99，基频 t60 就从 11.61 s 掉到 2.68 s（4.3 倍）。 J. O. Smith 在讲延迟线插值时专门警告过这件事（"feedback loops can be very sensitive to gain distortions"）—— 本页把那条警告量成了一个具体倍数。

18.4 拨的那一下：哪些谐波根本没被激发

本段只增加一样东西：初始形状（旋钮 = 初形档「噪声 / 三角」＋ 拨弦点 x₁/L，0.05 … 0.5；前四段的旋钮全部沿用）。
上一段的缺口：前三段把"环"讲完了 —— 音高、衰减都算得出来。可"拨"的那一下呢？ KS 用一段随机数（那是"用噪声敲一下"），而真弦的初形是拨片位置决定的一条折线： 拨在离端点 x₁ 的地方，弦被拉成一个三角形。
★ 于是有一样东西被整片拿掉了：三角初形在拨弦点处是一个"波节"，所有把节点落在拨弦点上的谐波 一次都没被激发。理想弦的模态幅度是 b_n ∝ sin(nπx₁/L)/n² （Penn State 的推导原文："the coefficients An will be zero when n is an integer multiple of L/d"）。
★ 能拿笔核：拨在 1/5 处 ⇒ 第 5、10、15… 次谐波整个不存在；拨在 1/3 处 ⇒ 第 3、6、9、12 次； 拨在正中 ⇒ 所有偶次都不存在。表④ 的 12 次谐波逐项差 ≤ 1.9e−3（差的那一点点是"41 个采样去逼近一条折线"的离散化）。
★ 而音高与衰减一位都不变：初形只决定"激发了多少"，不改环长、也不改单圈增益 —— 这一条把前三段与本段干脆地分开了：环管"能站住哪些频率"，初形管"往这些频率里各放多少"。

这一课带走了什么

三行：① 一根弦可以就是一条环形延迟线 —— 音高由"一圈走几拍"（p + ½）决定， 而那个 ½ 是环路滤波器贡献的相位延迟（所以"缓冲槽数"不是"弦长"）；② 衰减不是另外设计的， 它是"每一圈乘一次的那个增益"（G(f) = g·|H_a(f)|）的必然结果， 衰减时间对 g 的敏感度被 1/(−ln G) 放大成千百倍；③ 音色由"拨的那一下"决定 —— 初形只往那些能站住的频率里分配份量，末了还会按拨弦点削掉一整族谐波。
★ 前两课的"滤波器"是给形状反解系数；这一课的滤波器只有两项（`[½,½]`）， 却是从一个物理过程里长出来的：它既是弦的损耗，又顺带把音高挪了半拍。
下一课指针：到这一课为止，声音都是"在一条时间线上"算的（一个采样接一个采样）。 下一课换一个维度：把一个方位角变成左右两个增益 —— 同样是一行式子，同样能拿笔核， 同样能在这页之外的任何播放器里听出来。

本页用到的做法，出处在哪

• 算法本体与"周期 = p + ½" —— Kevin Karplus & Alex Strong, "Digital Synthesis of Plucked-String and Drum Timbles", Computer Music Journal 7(2):43–55, 1983（作者主页托管的 JSTOR 扫描全文）： 递推式 "Y_t = ½( Y_{t-p} + Y_{t-p-1} )"；"a period of p + ½ samples (frequency f_s/(p + ½))"； "Since no multiplication is required (only adding and shifting), the algorithm is fast and easy to implement"； 三个参数（pitch / amplitude / decay）；衰减的指数律 "the decay time for the n-th harmonic is roughly proportional to p³/n²"； 不滤档 "a random wavetable has essentially equal harmonics up to the Nyquist frequency, sounding like a reed organ"； 初值 ±A 等概率、−p ≤ t ≤ 0。 users.soe.ucsc.edu/~karplus/papers/digitar.pdf ★ 如实标注：原论文只有递推式与框图，没有伪码；本页件一里那几行代码是本页自己的实现，递推式逐字照论文。
• 传递函数、单圈增益、环长、T60 —— David Jaffe & Julius O. Smith, "Extensions of the Karplus-Strong Plucked-String Algorithm", Computer Music Journal 7(2):56–69, 1983（同一期的配套论文）： "H(z) = 1 / ( 1 − ((1+z⁻¹)/2) z^{−N} ) = 1 / ( 1 − H_a(z) H_b(z) )，其中 H_a(z) ≜ (1+z⁻¹)/2, H_b(z) ≜ z^{−N}"； "G_a(f) ≜ |H_a(e^{jωT_s})| = |cos(ωT_s/2)| = |cos(π f T_s)|, G_b(f) ≜ 1"； "loop gain = cos(π f T_s), and loop length = N + ½ (samples)"； "f_1 = f_s/(N+½)"；"α_f(t) = [cos(π f T_s)]^{t f_s/(N+1/2)}"； "τ_f = − (N + ½) T_s / ln cos(π f T_s)"；"t_60(f) = ln(1000) τ_f ≈ 6.91 τ_f"； 以及"整数延迟线导致音准被量化，补救是在环里加一个只贡献相位的一阶全通"。 Jaffe & Smith 1983 全文 PDF
• KS 是数字波导的特例 / 初值取白噪声 / 反馈环对增益失真极敏感 —— Julius O. Smith III, Physical Audio Signal Processing（CCRMA 在线专著）： "the author recognized the filtered-delay-loop in the Karplus-Strong algorithm as having the same overall structure as the transfer function of an idealized vibrating string… deriving the Karplus-Strong algorithm as a special case of a digital waveguide string model"； "the delay-line initial conditions used to "pluck" the string consist of random numbers, or "white noise.""； "Feedback loops can be very sensitive to gain distortions."（本页 18.3 把这条警告量成了 330 倍）。 ccrma.stanford.edu/~jos/pasp/、 …/Delay_Line_Interpolation.html
• 拨弦点削掉一族谐波 —— Penn State（Daniel A. Russell）的拨弦 Fourier 演示页： "An = (2h/n²π²)(L²/(d(L−d))) sin(d nπ/L)"； "Because of the sin(dnπ/L) term, the coefficients An will be zero when n is an integer multiple of L/d. …plucked at a point 1/3 of its length… all of coefficients A3, A6, A9, A12, etc. will be zero"； 同行评审版：Perov, Johnson & Perova-Mello, "The physics of guitar string vibrations", Am. J. Phys. 84 (2016)， "b_n = 2A sin(nπx₁/L) / [ (x₁/L)(1−x₁/L) π² n² ]"。 acs.psu.edu/drussell/Demos/Pluck-Fourier、 Am. J. Phys. 84 (2016)
• ★ 三处如实标注：① |cos(ωT_s/2)| 这条频响与"KS 是波导特例"都不在 Karplus & Strong 1983 里， 分别出自 Jaffe & Smith 1983 与 J. O. Smith 教材，本页分开标；② 原论文里的 "p³/n²" 原文是 "roughly"， 本页把它做成实测的 log-log 斜率（−2.04 / +2.98），并写明 n 方向偏离 −2 的原因（n 大时小角近似失效）； ③ 把 T60 与环路增益直接挂钩的"整圈"简化式（g = 10^{−3τ/T60}）我们只在 UCSD 课程讲义（二手）里找到， 本页只用 Jaffe & Smith 的一手形式（带频率相关项），不引那个二手式。