曲线：几个控制点怎么夹出一条光滑的线
全课题骨架：几何不是"画"出来的，是控制点 + 一条可以反复施加的规则算出来的 ——
而那条规则只做一件事：在两点之间取一点。
前九个课题的输入都是"已经离好的东西"（顶点、像素、瓦片、网格、样例图）。这个课题退到更前面一步：
那些顶点和网格是从哪儿来的？ —— 造几何这件事，在本仓一直是个没拆过的黑盒。
它出人意料地简单：整条路只有一条规则，就是"在两点之间取一点"。
把它沿着一排控制点重复 n 次，得到一条曲线（本课）；
换到一个网格的邻域上重复，得到细分（第 2 课）；在两个方向各重复一遍，得到一张曲面（第 3 课）。
四段路：两个点之间一个数 t（20.1）→ 三个点：规则用两次（20.2）→ 一般的 n（20.3）→
两条接起来时光滑的条件（20.4）。
保真度：示意 · 等价重现 —— 曲线求值、金字塔、Bernstein 形式、分割、升阶、端点切线
都是纯算术（页面现场跑的数与离线定稿 q201.mjs 逐位相同，十条判据都能离线复算）；
但画面是本页自己的二维软件光栅（逐像素写帧缓冲再搬上画布），不是硬件顶点着色器产出。
★ 真机上的常见做法是把 lerp / pyramid 放进顶点着色器、每个顶点算一个 t
（本站课题二第 1 课演示过那条管线）；本页在 CPU 上算同一份顶点数组，但不声称两者逐位相同。
本页的原理与四张数值表照常可读（画面只是把同一份顶点数组画出来）。
（脚本启动中…）
定点观察：（脚本启动中…）
本帧的读数
（脚本启动中…）
20.1 段 · 两个点之间取一个点
本段只增加一样东西：参数 t（画面里是两个控制点与它们之间那一点；其余控件与各段一致）。 保真度：示意 · 等价重现。造几何最小的情况就是两个点 —— 一条线段。 可"线段上的一点"这件事已经在用那条规则了：把它写成两个端点的一个加权平均， 权重是 t 与 (1−t)。t 不是"第几个点"，它是一个比例。
|PA| : |PB| →
那个比值恰好是 t : (1−t)：t 不是"序号"，是一个比例。
这也是"加权平均"这四个字第一次出现的地方 —— 后面三段全都只是它的重复。| t | 闭式 (1−t)·A + t·B | 实测（lerp） | 差 (px) | |PA| : |PB| |
|---|
算式：lerp(a, b, t) = a + t·(b − a)，两个分量各算一次。
把 t = 0 与 1 代进去就回到 A 与 B（这一条叫端点插值，是后面所有段的共同底线）；
把 t = 0.5 代进去得到 (A + B)/2。
表① 的"闭式"一列为什么要换一种写法：a + t·(b − a) 与 (1−t)·a + t·b 是同一个量的两种等价写法，
数学上完全相同，但浮点上并不保证逐位相同（乘的顺序不同、舍入点就不同）。这一列如果照抄成
a + t·(b − a)，差会恒为 0 —— 那不是验证，是复读。
换过来之后"差"那一列报的才是真东西，而它的读数分两种情形：本表这五档的 t 都是二进小数
（0 / 0.25 / 0.5 / 0.75 / 1），两种写法都算得精确 ⇒ 差恰好是 0；
而把 t 连续扫到 721 档（判据③），就会出现 1e−13 量级的差 —— 那正好是一个坐标（几百 px）的末位。
"差 0"与"差 1e−13"在这里都对，取决于 t 取在哪。
注意 t 的含义：它是"从 A 走到 B 的这个比例"，所以 |PA| : |PB| = t : (1−t) ——
这正是"加权平均"里两个权重的来处。但两个点没有"弯"可言：不管 t 怎么取，点永远落在那条线段上。
想要它弯，就得允许"多一个点、再多用一层规则" —— 那是 20.2。
20.2 段 · 三个控制点：把这条规则用两次
本段只增加一样东西：控制点数 2 → 3（规则一个字都不换，只是多施加一层；其余控件一致）。 保真度：示意 · 等价重现。上一段只解决了"两个点之间的比例"，可两个点画出来的永远是直线段。 想让它弯，最省事的补法是再加一个控制点，然后问一句：三个点怎么用同一条规则？ 答案是把规则用两次：先在 (A,B) 与 (B,C) 上各取一点，再在这两点之间取一点。 两次之后得到的不再是直线 —— 而且它只经过 A 与 C。
| t | 闭式 (1−t)²A + 2t(1−t)B + t²C | 实测（两层金字塔） | 差 (px) | |P(t) − B| (px) |
|---|
算式：把规则用两次，摊开就是 P(t) = (1−t)²A + 2t(1−t)B + t²C ——
三个权重是 0.25 / 0.50 / 0.25（t = 0.5 时），和恰好是 1。
最该记住的一句：t = 0 与 1 代进去，只有 A 与 C 的权重不为零（各为 1），所以曲线经过首末点；
而 B 的权重在 t = 0.5 处最大也只有 0.5，**永远到不了 1** —— 所以曲线不经过 B。
本文档里这叫"逼近样条"：控制点是拉力，不是必须落在曲线上的点。
第二条性质也在这里第一次出现：三个权重都非负、加起来是 1，
于是曲线上的点永远是控制点的凸组合 ⇒ 整条曲线待在控制点围成的凸包里（判据②量的就是这一条）。
20.3 段 · 一般的 n：一个三角形的账
本段只增加一样东西：控制点数任意（3 到 7；其余控件一致）。 保真度：示意 · 等价重现。上一段只解决了"多一个点"的做法，可真实造型要用几十个点。 同一件事往上长很直接：n+1 个控制点就把规则用 n 次，画出来是一个三角形阵（金字塔）， 行数就是次数。而"用了 n 次"这件事可以一次算完 —— 把系数摊开就是 Bernstein 形式。 两条路的数必须逐位相同，这构成一条真正的交叉验证。
| 控制点数 | t | 金字塔（重复施加） | Bernstein（一次算完） | 差 (px) |
|---|
算式：B(t) = Σᵢ C(n,i)·(1−t)^(n−i)·t^i·Pᵢ，其中 C(n,i) = n!/(i!(n−i)!)。
把 t + (1−t) = 1 代进二项式定理就得到 Σᵢ C(n,i)(1−t)^(n−i)t^i = 1 ——
这就是权重和恒为 1（判据⑤ 实测 4.4e−16），也是凸包性的根。
两条路线必须不共用中间量：一条在几何上一层层取点，一条把系数一次乘完（二项式系数由帕斯卡递推算），
所以它们给出的"最大差 3.46e−13"才叫证据 —— 若两边照抄同一个表达式，差恒为 0，等于没验。
★ 层数这件事值得单独记一句：n+1 个控制点 ⇒ n 层 ⇒ 次数 n。
所以这一段的标题里那个"三角形的账"就是指金字塔 —— 它的两腰（每层的首与尾）在下一段会派上大用场。
20.4 段 · 两条接起来：接缝处要什么条件
本段只增加一样东西：第二条曲线的控制点（画面上是 8 个点；其余控件一致）。 保真度：示意 · 等价重现。上一段把"一条曲线"讲完了，可一条曲线只有 n+1 个控制点， 形状自由度有限（而且改一个点整条都会动）。真实造型是把很多段接起来 —— 于是问题变成：接的地方要满足什么，看起来才不像断了一截？ 答案就藏在上一段已经算出来的东西里：端点切线。
B'(0) = n(P₁−P₀)。| 档 | 共线度 |t₁×t₂| / (|t₁||t₂|) | 接缝夹角 (°) | 接缝点位置差 (px) | 只挪 Q₁（84.85 px）后第二段最大位移 (px) |
|---|
算式：三次曲线在 t = 0 处的切向量是 B'(0) = 3(P₁ − P₀)。
把它用在"两段接起来"上：第一段的尾切线是 3(P₃ − P₂)，第二段的头切线是 3(Q₁ − Q₀)；
而两段共享 P₃ = Q₀。于是两条切线共线的条件就是 P₂、Q₀、Q₁ 三点共线 ——
再要求等距（比 1:1），两条切向量就完全相等，接缝处连"速度"都接上了，这就是 C¹。
顺带的定量结论：只挪 Q₁ 一个点、位移 84.85 px 时，
第二段曲线最多移动 4/9 × 84.85 = 37.71 px（实测 37.71，逐位相同）。
这个 4/9 的来处很好记：三次曲线里 P₁ 的权重是 3t(1−t)²，它在 t = 1/3 取极大 4/9
—— 所以控制点的影响是有上界的，这是"控制点不是曲线上的点"最直白的一个推论。
课末：把"夹"拆成四件事
这一课只做了一件事：把"在两点之间取一点"这条规则用起来。四段各加一个变量，加完全都清楚了：
- 20.1 参数 t：规则本身。
lerp(a,b,t)，两个分量各算一次；t 是比例，|PA|:|PB| = t:(1−t)。 - 20.2 控制点数 2 → 3：规则用两次。曲线第一次有了"弯"，也第一次不经过中间的控制点（差 170.00 px）。
- 20.3 控制点数任意：规则用 n 次，金字塔行数就是次数；换成一次算完就是 Bernstein 形式。 两条路线逐位相同（3.46e−13），权重和恒为 1（4.4e−16）⇒ 曲线永远在凸包里。
- 20.4 第二条曲线：接缝只看端点切线；C¹ 的条件是
P₂、Q₀、Q₁共线且等距（夹角 0.000000°）。
自检面板
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