噪声：随机数不是一个函数
全课题骨架：程序化生成 = 不摆位置、只定规则 —— 同一颗种子 + 同一个规则，必须长出同一片内容。
而"像自然"靠两件事：横着看，每个格点上一个随机数，中间按核平滑地连起来；竖着看，把很多层按幂律叠起来。
这一课只讲第一根柱子：噪声 = 一张"看起来随机、其实处处光滑"的场。
而它的起点是一个极容易被忽略的事实 —— 随机数发生器没有"距离"这个概念：它能给你第 7 号和第 8 号两个数，
却不知道"7 和 8 挨得很近，理应给两个相近的数"。所以直接把随机数当高度，得到的是一片雪花，不是地形。
五段路：把随机数绑到格点上（12.1）→ 决定格点之间怎么过渡（12.2）→ 决定格点上放什么（12.3）→ 把很多层叠起来（12.4）→ 总账（12.5）。
每一段只增加一样东西，其余控件一个字不动。
保真度：画面走 CPU 逐像素（示意 · 等价重现） —— 噪声本来就是"每个像素算一个标量函数"，
与真机在片元里逐像素求值是同一件事，只是并行度不同；读数真机可证 —— 格点恒等为 0、核的端点导数、三种跳变、
值域界、极值位置、2/3、功率谱斜率、可复现，都是本页真算出来的数，每条都能拿笔核。
本页的原理与数值表照常可读（画面只是把同一个数画出来）。
（脚本启动中…）
定点观察：先点「12.2 格点之间怎么过渡」，再依次点四个「插值核」按钮 → 盯住格点那条竖线（切到「灰度 + 格点」看得最清）→ 零阶跳变被"线性"杀掉、一阶跳变被"三次"杀掉、二阶跳变只有"五次"才压得下去；而格点上的值一位都没变。
本帧的读数
（脚本启动中…）
12.1 随机数不是一个函数
本段只增加一样东西：格点随机（块内常数）（旋钮是「格点数 n」；后面的核、格点上放什么、gain 都还没登场）。
想要"一片随机地形"，最直觉的做法是每处取一个随机数。可随机数发生器不是空间上的函数 ——
它认得"第 i 号数"，不认得"x 与 y 挨得近"。于是相邻两处取到的数毫无关系，画面就是一片雪花。
这一段的做法是把它退到最朴素的形式：格点上各放一个随机数，格内取常数（核取"低角"那一档）。
于是 n = 960 时一格正好一个像素，就是标准的白噪声；把 n 调到 8，就变成一格 120 px 的大方块 ——
但块内依然是常量，块与块之间是断的：没有任何一段斜坡。
这件事可以直接量：相邻像素平均绝对差，在 n = 960 时实测 0.659（每像素独立随机数的理论值 E|a−b| = 2/3 = 0.6667），
到 n = 4 只剩 0.0010；而 lag-1 自相关从 0.059 跳到 0.997。
它只有"完全无关"和"完全相同"两端，中间那种"相似"在这一档里根本不存在。
| 格点数 n | 一格多少像素 | 相邻像素平均绝对差 | 与 2/3 之比 | lag-1 自相关 |
|---|
12.2 让相邻的地方像一点：格点之间怎么过渡
本段只增加一样东西：格点之间的过渡方式（插值核）（格点数沿用上一段，其余控件一字不改）。
上一段的问题很清楚：格点之间有"值"，但没有"过渡" —— 所以相邻像素要么完全一样、要么毫无关系。
要让它们"渐渐变过去"，就得让每个像素读的是周围四个格点值的加权平均，权重只由"离哪个格点多近"决定。
于是问题变成：这个权重函数（核）取什么形状？四档正好是一条完整的演进：
最近邻（恒取低角 = 上一段的块）→ 线性 t → 三次 3t²−2t³ → 五次 6t⁵−15t⁴+10t³。
判据是"在格点上光不光滑"，也就是三种跳变：零阶（函数值本身跳）、一阶（斜率跳）、二阶（曲率跳）。
实测（格点 x = 4、y = 3.5、步长 h = 1e−3）：零阶 5.49e−1 → 6.27e−4（线性杀掉）；一阶 1.65e−1 → 9.87e−4（三次杀掉）；
二阶 3.76 → 3.75e−2（只有五次才压下去）。
★ 这正是 Perlin 2002 那篇论文的全部内容 —— 摘要原话：Two deficiencies in the original Noise algorithm are corrected:
second order interpolation discontinuity and unoptimal gradient computation；
把 3t²−2t³ 换成 6t⁵−15t⁴+10t³，因为后者 has zero first and second derivatives at both t=0 and t=1。
★ 还有一件事必须当场说清：四个核在格点上的值逐位相同（差 0） —— 格点是骨架，核只是肉。
| 核 | k(0.5) | k′(0) | k′(1) | k″(0) | k″(1) | 零阶跳变 | 一阶跳变 | 二阶跳变 |
|---|
12.3 方格的痕迹从哪来：格点上别放值，放方向
本段只增加一样东西：格点上放什么（一个值 / 一个方向）（核、格点数、显示方式都不动）。
上一段把"过渡"修得很漂亮了，可只要退后一步看整幅图，方格还在。原因是上一段量出来的那条性质：
值噪声的起伏永远"长在格点上"。这不是巧合 —— 格内任一点的值是四个角值的凸组合，
它不可能超过四个角里最大的那个，所以全局极值只能在格点取到（实测：采样极值落在格线上，
到最近格点的距离 0.0083 / 0.0083 格，而采样网格自己的步长是 0.0167 格 —— 差在分辨率以内）。
要让它不长在格点上，就得让格点上的数不再是"峰/谷"。Perlin 的做法很干脆：格点上放一个随机方向（梯度），
取"这一点相对格角的偏移 d"与它的点积。那么在格点上 d = 0 ⇒ 点积 = 0 ——
格点从"极值"变成了"零点"。（★ 诚实标注：这条"格点处恒为 0"的性质，Perlin 本人两篇论文里都没有点明；
公开的权威推导见 Matt Zucker 的数学 FAQ 与 HandWiki 的 Perlin noise 条目，出处见页末。）
实测：切到"方向"之后，格点处的 |值| = 0.00e+0，而采样极值挪到了格点之间（离最近格点 0.4917 / 0.3250 格，
是网格步长的 20~30 倍）—— 方格痕迹就是这么消失的。
顺带一个可手算的量：单位梯度、二维时，取值范围的上界是 ±√(N/4) = ±1/√2 = 0.70711；
实测 2304 个格上的 min/max 是 −0.6815 / 0.6738 —— 贴着上界，但从未越界。
| 档 | 格点处的 |值| | 采样网格极值 | 极值离最近格点 | 全场 min / max | 与格点值区间的关系 |
|---|
12.4 一层不够：按 gain 把倍频叠起来
本段只增加一样东西：把 5 个倍频按 gain 叠起来（层数固定 5，唯一旋钮是 gain；其余控件不动）。
上一段已经有了"光滑、无方格"的场，可它只有一个频率 —— 看上去是一堆一样大的气泡，既不像山也不像云。
真实的云与地形在所有尺度上都有结构：大形状只有几个，小起伏却多得数不清。
做法只有三行（IQ 原文的写法）：t += a * noise(f*x); f *= 2; a *= G; ——
频率逐层翻倍、振幅逐层乘 gain，于是"把横向放大 U 倍"等价于"把纵向放大 U⁻ᴴ 倍"，也就是自相似。
这一段的账要分成两件不同的事来算，这是本课最容易被含糊过去、也最容易被写错的地方：
① 每层贡献的振幅比 = gain（表④ 实测 gain = 0.5 / 0.6 / 0.707 / 0.9 时分别是 0.510 / 0.612 / 0.721 / 0.918，
理论就是 gain 本身；能量比 = gain²，实测 0.260 / 0.374 / 0.520 / 0.842，理论 0.25 / 0.36 / 0.50 / 0.81）；
② 合成场的功率谱斜率 ∝ f^−B，其中 B = 2H+2（二维径向口径）、H = −log₂ gain。
gain = 0.50 时实测 −3.85，理论 −4.00；gain = 0.707 实测 −2.86（理论 −3.00）；gain = 1.00 实测 −1.88（理论 −2.00）。
★ "每层振幅减半"不等于"幅度谱 ∝ f⁻¹"。后者只在"直接拿每层振幅对频率"这种口径下成立；
按功率谱密度的定义，要把那一层的带宽除掉，于是指数上多出一个 1（二维再多一个 1，维数也进去了一项）。
换成一维剖面口径，同一张场的指数是 −(2H+1)：实测 −3.01 / −2.53 / −2.11 / −1.54 / −1.30
（理论 −3.00 / −2.47 / −2.00 / −1.30 / −1.00）。
这正是 Inigo Quilez 那篇 fBm 里那张谱图的口径（H = 1、G = 0.5 ⇒ 9 dB/octave、能量 ∝ f⁻³）。
这一条是本轮写设计稿时写错、被一手源纠正过来的，所以特地摆在页面上。
| gain | H | 每层振幅比 | 每层能量比 | 2D 谱斜率（实测） | 2D 理论 −(2H+2) | 1D 谱斜率（实测） | 1D 理论 −(2H+1) |
|---|
12.5 总账：这一课能拿笔核的东西
本段不增加任何变量（控件与 12.4 完全一致），只把四条链的账并排放在一起。
回头看这五段，其实只有三件事：把随机数绑到格点上（12.1）→ 决定格点之间怎么过渡（12.2）→
决定格点上放什么（12.3）→ 把很多层叠起来（12.4）。骨架从第一段起就没再动过，
每一段只是把其中一样换掉。
这一课最值钱的不是那些"很小"的数，而是那几个恰好为 0 的数：格点恒等（四个核差 0）、
方向档在格点上的取值（0.00e+0）、以及"零阶/一阶/二阶跳变里恰好有一阶变成 0"——
能被断言为 0 的东西，才是真正证过的性质。
还要如实说清两件工程上的事：① 本页整幅同步算完，1 层约 30 ms、5 层约 130 ms（960×600 实测），
所以不做分片 —— 代价是拖 gain 时会有约 0.1 s 的迟滞；② 本页的梯度是二维、单位长度的 64 个方向里挑一个，
而 Perlin 原文用的是三维的 12 个棱方向（模长 √2，再 padding 到 16 个桶以免除法）——
两套约定只是"梯度集合"不同，算法结构一字不差。
下一课指针：这张场现在能画"云"和"起伏"了，但它还是"一团的"——
把坐标本身拧一下（f(p + h(p))，域扭曲），同一张场立刻能长出山脊与峡谷；再往下一课就是把"规则"从
"相邻处要相似"换成"每个 N×N 的局部图案必须来自输入"（WFC）。
| 看什么 | 本页实测 | 能不能拿笔算 |
|---|
这一课的位置
五段只做了一件事：把"随机"从一个没有距离概念的数，变成一张处处光滑、且在各个尺度上都有结构的场。
12.1 与 12.2 一起回答"横着怎么连"（格点给骨架、核给肉），12.3 回答"骨架该长什么样才能不露出方格"，
12.4 回答"竖着怎么叠"（自相似）。
这也解释了几件工业上的事：为什么贴图里那些"程序化噪声"总是"格点 + 核 + 分形"三层结构；
为什么 Perlin 2002 要把三次核换成五次核（不是"更好看"，而是二阶不连续会在跨格线处留下可见的痕迹）；
为什么"值噪声"在 GPU Gems 之后基本被"梯度噪声"取代（值档的极值锁死在格点上，方格是结构性的、不是分辨率问题）；
以及为什么程序化地形一定要 fBm —— 单一频率的噪声无论怎么调，都只能是"一堆一样大的气泡"。
本页那一格"如实说明"：① 画面是 CPU 逐像素（示意 · 等价重现），真机上它在片元里做同一件事；
② 梯度集合是二维、单位长度的 64 个方向，Perlin 原文是三维的 12 个棱方向（模长 √2，padding 到 16 个桶）；
③ 本页的 fBm 做了 t / Σa 归一化（只影响显示幅度，不改谱斜率）；
④ 功率谱斜率报了两个口径，因为这两个口径在文献里都被使用过，差的就是"维数那一项"；
⑤ 整幅同步算完（1 层 30 ms / 5 层 130 ms），所以拖 gain 时有约 0.1 s 迟滞 —— 这是如实写出来的代价，不是没发现。
本页用到的做法，出处在哪
- 噪声的参考实现与置换表 —— Ken Perlin 本人页面《Java Reference Implementation of Improved Noise》（2002）：
fade(t) = t*t*t*(t*(t*6 - 15) + 10)、lerp、grad（hash & 15， 注释明写 INTO 12 GRADIENT DIRECTIONS）与 256 项置换表p[]： mrl.cs.nyu.edu/~perlin/noise/。 - 为什么是五次核 —— Ken Perlin，Improving Noise（SIGGRAPH 2002）：摘要原话
"Two deficiencies in the original Noise algorithm are corrected: second order interpolation discontinuity and
unoptimal gradient computation"；旧核
s(t)=3t²−2t³的二阶导在 t=0/1 处不为零 ⇒ 跨整数边界二阶不连续； 新核 "has zero first and second derivatives at both t=0 and t=1"；12 个棱方向的两条理由（避开轴向聚簇、省掉 24 次乘法） 与"padding 到 16 个方向以免除以 12"： mrl.cs.nyu.edu/~perlin/paper445.pdf。 原始论文（1985，ACM 标记为 Seminal Paper）： mrl.cs.nyu.edu/~perlin/doc/oscar.html、 dl.acm.org/doi/10.1145/325165.325247。 - "格点处恰好为 0"（★ 诚实标注：Perlin 本人的两篇论文都没有点明这一条）—— Matt Zucker《The Perlin noise math FAQ》："the noise function becomes zero when x and y are both whole numbers ... the dot product of that vector and g(x₀,y₀) will evaluate to zero"： mzucker.github.io/html/perlin-noise-math-faq.html； 另有 "the noise function will pass through 0 at every node"： handwiki.org/wiki/Perlin_noise。
- 取值范围 ±½√n（二维 ⇒ ±1/√2 ≈ 0.707）—— "the output range of Perlin noise is not −1 to 1. It's ±½√n"： eev.ee/blog/2016/05/29/perlin-noise/。
- fBm、域扭曲、值噪声与梯度噪声 —— Inigo Quilez（作者本人四篇）：fBm 的三种写法与
"G = 2⁻ᴴ"、H=1（G=0.5）对应 9 dB/octave、能量 ∝ f⁻³：
iquilezles.org/articles/fbm/；
域扭曲
f(g(p))与多级套娃（下一课的正题）： iquilezles.org/articles/warp/； 值噪声 = "格点随机值 + 插值"、并点出 cubic 版的连续性瑕疵： iquilezles.org/articles/morenoise/； 梯度噪声 = "格点上放梯度、对偏移量做点积"： iquilezles.org/articles/gradientnoise/。