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空间音频：一个方位角怎么变成两个增益

全课题骨架：采样不是"取点"，是"用一串离散值 + 一个重建核，去猜那个连续的东西"。
前三课都在这条链上：先看清"多采几个点为什么不是答案"，再拆开"先滤再采"里那台滤波器， 然后用一条环形延迟线把一根弦"长"出来。这一课换一个问法 —— 同一个声音，怎么被放到"左边 / 远处 / 身后"去？
答案比你想的朴素：所谓"放到空间里"，就是给它算出几个增益 —— 方位角给你两个（左、右），距离给你一个，声源的朝向再给你一个； 最后把这三个乘到信号上。整页就是把这三件事各自的算式摆出来，并指出它们各自的坑。
四段路：一个方位角两个增益（19.1）→ 远一点该轻多少（19.2）→ 声源也有正面和背面（19.3）→ 三件事相乘（19.4）。
★ 本页同样不发声（判据必须能在这里逐样本复算）：画面画的是俯视图（听者、声源、方位角、 距离环、声锥）与几个增益的条。算式的每一行都逐字取自 W3C《Web Audio API》1.1 规范的 §6.2（方位角）、§6.3.1（equalpower）、§1.27.2（三种距离模型）、§6.5（声锥）与 Common Definitions 里的 class Vec3。 保真度：示意 · 等价重现 —— 算式按规范逐字实现、在纯 JS 里逐样本复算， 四段共 7 张表、十条判据都能离线复算（页面现场跑的数与离线定稿 sp4.mjs 逐位相同）； 但本页没有在本机核验任何浏览器实现（无头探针里没有 Web Audio）。 ★ 本课还如实带出一处规范自身的不一致：声锥那一步的方向口径，规范伪码与它自己的散文、以及 Chromium / Firefox 两个实现相反 —— 详见 19.3。

分段：
方位角： az = −45° ← 19.1 的旋钮
仰角： el = 0° ← 19.1 的第二眼（它不影响两个增益）
距离： d = 1.00 ← 19.2 的旋钮（对数刻度 0.5…100，参考距离 1、上限 10）
距离模型： 衰减强度 f： f = 1.00 ← 19.2 的旋钮（规范给 linear 的名义范围是 [0,1]，所以这里也只到 1）
声源朝向与连线的夹角 θ： θ = 0° ← 19.3 的旋钮
内锥 / 外锥（整角）： 内 360° 外 360° 外锥增益： 外锥增益 0.00
声锥那一步的方向口径： ← 19.3 的正题：谁减谁，会把"正对听者"与"背对听者"换个个儿
输入幅值： 输入 = 1.00 ← 19.4 的旋钮（它只被乘一次，不会改任何一个增益）
（七张表与十条判据在后台跑）

（脚本启动中…）

定点观察：（脚本启动中…）

（按「跑一遍读数」看当前这一档的全部中间量；按「扫一遍方位角」看十二档方位角的折叠与两个增益）

本帧的读数

（脚本启动中…）

19.1 一个方位角，两个增益

本段只增加一样东西：方位角（旋钮 = 方位角；其余控件与本课起点相同 —— 距离固定在参考距离 1 上、没有声锥、仰角 0）。
上一段的缺口：前三课把声音当"一串数"处理。可"这个声音在左边"这件事，最后必须落成两个数 —— 落成哪两个？为什么偏偏是这两个？
规范给的路只有两跳：① 先把"两个位置"变成一个方位角（听者与声源各有一个位置； 规范用听者的 forward / up 造出一套"右 / 上"，再把"源 − 听者"这个方向投影上去，得到方位角与仰角）； ② 再把方位角变成一个归一化量 x，然后左边取 cos、右边取 sin。
★ 这里有一个几乎所有人事先都想不到的细节：方位角先被 clamp 到 [−180,180]， 然后超过 ±90° 的那两半折回来（`if (az < -90) az = -180 - az;`）。 于是 只有 [−90°, 90°] 这一段是"真"的：正前方（0°）与正后方（180°）算出来的两个增益 逐位相同 —— equalpower 根本分不出前后。这不是 bug，是这套算法的定义。
★ 还有一条：规范原话说 equalpower 用的时候 "the elevation value is ignored" —— 仰角算出来了，但被丢掉。所以"声音在上方还是下方"这件事，这套算法完全没有表达。

输入 声源位置 (x, y, z) 例：源在 (4, 0, 0) = 正右方、距 4 听者（固定不动） 位置 (0, 0, 0) forward (0, 0, −1) up (0, 1, 0) 仰角 el 算出来了，被丢掉 右 = forward × up = (1, 0, 0) 方位角 az 的含义： 0 = 正前，+90 = 正右 ① 方位角（规范 §6.2）　② 方位角 → 两个增益（规范 §6.3.1） function azEl(sp) { // §6.2：听者固定在原点 const u = unit(sub(sp, LPOS)); // 源 − 听者 const R = cross(LFWD, LUP); // 听者的“右” const up = cross(unit(R), unit(LFWD)); // 听者的“上” const P = unit(sub(u, mul(up, dot(u, up)))); // 压到水平面 let az = Math.acos(cl1(dot(P, unit(R)))) * 180 / Math.PI; if (dot(u, unit(LFWD)) < 0) az = 360 - az; // 在前还是在后 az = (az <= 270) ? 90 - az : 450 - az; // 再相对“正前” let el = 90 - Math.acos(cl1(dot(u, up))) * 180 / Math.PI; if (el > 90) el = 180 - el; // 折回 [−90, 90] else if (el < -90) el = -180 - el; return { az: az, el: el }; } function panGains(az) { // §6.3.1 az = Math.min(180, Math.max(-180, az)); // clamp 到 [−180,180] if (az < -90) az = -180 - az; // ★ 折回来 else if (az > 90) az = 180 - az; // ★ 折回来 const x = (az + 90) / 180; // 归一化 const gL = Math.cos(x * Math.PI / 2); const gR = Math.sin(x * Math.PI / 2); return { wrap: az, x: x, gainL: gL, gainR: gR }; } 输出 方位角 az [−180°, 180°] 折回后 wrap 只有 [−90°, 90°] 归一化 x (wrap + 90) / 180 gainL = cos(x·π/2) gainR = sin(x·π/2) az = 0° 与 180°： 两个增益逐位相同 az = ±90°：一侧落到浮点零 gainL² + gainR² 恒为 1 （这条规范没写，是推论）
表① 方位角 → 左右两个增益（听者固定在原点、forward = (0,0,−1)、up = (0,1,0)； 源方向 = (sin az, 0, −cos az)。第三列是"折回后"的方位角 —— 只有 [−90°,90°] 落在它里面； 末列是等功率核对：gainL² + gainR² 应当恒为 1）。 ★ ±90° 那一侧的 0 是浮点零（cos(π/2) 在双精度下是 6.12e−17），不是数学上的 0。
设定方位角折回后xgainLgainRgainL²+gainR²说明
表①b 仰角对 equalpower 没有影响（方位角固定在 0°；规范原话：the elevation value is ignored）。 注意第二列：仰角算出来了，只是没被用。
设定仰角算出的 el算出的 azgainLgainR与 el = 0° 那档之差

19.2 远一点该轻多少

本段只增加一样东西：距离（旋钮 = 距离 + 距离模型；方位角回到 0°、仍然没有声锥）。
上一段的缺口：19.1 只按角度给增益 —— 站在正前方的源，离 1 米和离 100 米，那两个增益完全一样。 距离还没着落。
规范给的是三个模型（distanceModel），公式都很短：
linear：1 − f·(clamp(d, dr, dm) − dr) / (dm − dr)； inverse：dref / (dref + f·(max(d, dref) − dref))； exponential：(max(d, dref)/dref)^(−f)。
★ 三条曲线的第一个共同点是：在 d ≤ dref 处都恰好等于 1（不是"接近 1"）—— 参考距离以内不衰减。 第二个共同点是：它们对"很远"的态度完全不同 —— linear 有地板：`d ≥ d'max` 之后它恒等于 1 − f，再远也不掉（`f = 1` 时就是 0）； inverse 与 exponential 没有地板，但也不会精确到 0 （`d = 10⁹` 时还剩 `1.0e−9`）。
★ 还有一件"看着像笔误、其实是代数"的事：f = 1、dref = 1 时， inverse 与 exponential 是同一条曲线 —— 前者化成 1/(1 + (d−1)) = 1/d，后者化成 (d/1)^(−1) = 1/d。 表③ 的中间两列在这一档参数下逐位相同；把 f 拨到 0.5 或 0.25，它们立刻分开（见表③b）。
★ 本页把衰减强度 f 的滑块只开到 1：规范给 linear 的 rolloffFactor 名义范围是 [0, 1]，而超范围时怎么夹，规范只留了一句"夹在距离计算里发生"、没有逐字伪码 —— 本页不猜那件事（拿 `f = 4` 代进去，linear 会给负增益，那就是相位反了）。

输入 声源位置 (x, y, z) 听者位置 (0, 0, 0) 参数 dref 参考距离 = 1 dmax 上限 = 10 f 衰减强度 ∈ [0,1] 选哪个模型 linear / inverse / exponential 规范默认值： dref 1 / dmax 10000 rolloffFactor 1 distanceModel 默认 是 "inverse" 距离 → 一个总增益（规范 §6.4 + §1.27.2） function distOf(sp) { // §6.4：距离 = |源 − 听者| return len(sub(sp, LPOS)); } function distanceGain(m, d, dref, dmax, f) { // §1.27.2 if (m === 'linear') { // 有地板的那个 const dr = Math.min(dref, dmax), dm = Math.max(dref, dmax); if (dr === dm) return 1 - f; const dc = Math.min(Math.max(d, dr), dm); // 把 d 夹进 [dr, dm] return 1 - f * (dc - dr) / (dm - dr); } if (m === 'inverse') { // 1/d 那一族 if (dref === 0) return 0; return dref / (dref + f * (Math.max(d, dref) - dref)); } if (dref === 0) return 0; return Math.pow(Math.max(d, dref) / dref, -f); // exponential } dref = 0 时：inverse 与 exponential 都返回 0 （规范原话：the value … is taken to be 0） 输出 距离 d |源 − 听者| distanceGain 一个数，乘到左右 0 ≤ 增益 ≤ 1 d ≤ dref 时恰为 1 linear 的地板： 1 − f（f=1 时是 0） 反过来说：只有 linear 能精确到 0 f=1、dref=1 时 inverse ≡ exponential （两条都是 1/d）
表② 三种距离模型（dref = 1、dmax = 10、f = 1）。 注意 d ≤ 1 两行三列全是 1；d = 10 起 linear 停在 0 不动， 而另两条继续往下掉（但永不为 0）。末列给出每行的可手算依据。
距离 dlinearinverseexponential可手算依据
表②b 把 f 拨开，inverse 与 exponential 就分家了（距离固定在 4）。 f = 1 那一行两列逐位相同（都是 1/4）；f = 0 那一行三列全是 1（完全不衰减）。
衰减强度 flinearinverseexponential说明

19.3 声源也有正面和背面

本段只增加一样东西：声源的朝向（旋钮 = θ 与两个锥角；方位角 0°、距离 1）。
上一段的缺口：19.1 与 19.2 都假设声源四面八方一样响（全向）。可现实里的喇叭、说话的人， 是朝一个方向发的：站在喇叭背面，听到的当然不一样。
规范把这叫 sound cone：给声源一个"朝向向量"，再给两个张角与一个外锥增益。 计算只有三种情况：那条连线落在内锥里 → 增益 1；落在最外锥之外 → 增益 = 外锥增益； 夹在两者之间 → 线性插值（`gain = (1 − x) + outerGain·x`，x 从 0 到 1）。
★ 两个容易踩的地方：① 两个角度是"整角"不是"半角" —— 规范伪码里专门有一句注释 "Divide by 2 here since API is entire angle (not half-angle)"， 所以 `coneInnerAngle = 120°` 意味着两侧各 60°；② θ 不是"声源朝向与听者朝向的夹角"， 而是"声源朝向"与"声源和听者之间那条连线"的夹角。
★ 而这里有一件规范自己没统一的事，本课就把它摆在台面上： 那条连线取哪个方向？
· 规范 §6.5 的伪码写的是 sourcePosition.diff(listenerPosition)；而规范自己在 Common Definitions 里 定义了 diff(v) { return new Vec3(this.x - v.x, …); } ⇒ 它算出来的是 源 − 听者。
· 可同一份规范的散文说："a sound source pointing directly at the listener will be louder than if it is pointed off-axis"（正对听者的源更响）。
· 两个实现也都是 听者 − 源：Chromium 的 source_to_listener = listener_position - source_position;、 Firefox 的 sourceToListener = mListenerEngine->Position() - position;。
三者里，伪码那一步与另外两处相反。后果很直观：两个方向的夹角互补（`θ ↔ 180 − θ`）， 于是 "正对听者"与"背对听者"整个换个个儿 —— 伪码那一支会把正对着你的喇叭静音。
★ 本页的处置：把口径做成两个按钮，默认取"散文 / 两个引擎"（与散文自洽的那一支）； 另一支给出规范伪码的数。表③ 末两列把两边的读数并列摆出来，判据⑧ 断言它们互补、 且在 θ = 90° 处恰好相同（那时连线的方向反不反都一样）。

输入 声源朝向向量 o "喇叭朝哪边" 内锥 / 外锥（整角） 默认都是 360° （= 没有锥，增益 1） 外锥增益 默认 0（外面听不到） θ：朝向与连线的夹角 本页直接给你这个角 （真实场景里它由朝向 与位置一起合出来） ★ 连线取哪个方向： 伪码 源−听者；散文与 两个引擎 听者−源 朝向 → 又一个总增益（规范 §6.5） function coneGain(sp, cfg, dir) { // §6.5 const none = len(cfg.o) === 0; const flat = (cfg.inner === 360 && cfg.outer === 360); // 没有指定锥 if (none || flat) return { gain: 1, a: NaN }; // ⇒ 单位增益 // ★ 那条连线取哪个方向：伪码用 源−听者；散文与两个引擎用 听者−源 const v = dir === 1 ? sub(sp, LPOS) : sub(LPOS, sp); const d0 = unit(v), o0 = unit(cfg.o); const a = Math.abs(Math.acos(cl1(dot(d0, o0))) * 180 / Math.PI); const ai = Math.abs(cfg.inner) / 2, ao = Math.abs(cfg.outer) / 2; if (a <= ai) return { gain: 1, a: a }; // 内锥里：不衰减 if (a >= ao) return { gain: cfg.og, a: a }; // 外锥外：只剩外锥增益 const x = (a - ai) / (ao - ai); // 中间：线性插值 return { gain: (1 - x) + cfg.og * x, a: a }; } θ ≤ 内锥半角 → 1 ；θ ≥ 外锥半角 → 外锥增益 中间那一段是直线（不是钟形曲线） ★ 整角不是半角：API 给的是整个锥的张角，代码里要 /2 特例：朝向模长 0、或内外锥都是 360° → 1 （规范原话：no cone specified — unity gain） 输出 absAngle |θ|，0…180° coneGain 一个数，乘到左右 外锥增益 0 时： 能精确压到 0 内锥 120°/外锥 240° = 半角 60°/120° θ = 90° 是两口径 唯一相同的点 换口径 ⇒ 楔形翻到 听者的另一侧
表③ 声锥的分段（内锥 120°、外锥 240°、外锥增益 0 ⇒ 半角 60°/120°）。 第三列的"可手算依据"就是那条线性插值式。末两列是同一组几何下两种方向口径的读数 —— 它们互补，且在 θ = 90° 处相同。 ★ θ 正好落在外锥半角（120°）那一格时，浮点上是 2.2e−16（表里显示 0）—— 因为那里是"夹角恰好等于 120°"这个边界，`acos` 的舍入让它落在边界的哪一侧都合规。
θabsAngleconeGain可手算依据规范伪码口径散文 / 两引擎口径
表③b 外锥增益不是 0 的时候（θ = 90°，仍在中间段）。 中间段的公式 (1 − x) + outerGain·x 在这里 x = 0.5 ⇒ 增益是两端的中点。
外锥增益coneGain可手算依据

19.4 三件事相乘

本段只增加一样东西：把三者连起来（旋钮 = 输入幅值；三个增益的旋钮都在）。
上一段的缺口：三个增益各自都算出来了，可它们怎么合到一路信号上 —— 相加？取平均？还是相乘？
规范 §6.3.1 的第 6 步只有两行：let totalGain = coneGain() * distanceGain(); 然后 outputL = totalGain * outputL;、outputR = totalGain * outputR;。 是乘。理由也很朴素：每一个增益都在回答同一个问题 —— "从声源到我的耳朵，这一路还剩多少"； 一路经过三件事，剩下的自然是连乘。
★ 乘法链有两个立刻能看出来的性质：① 一个 0 吃掉全部 —— 只要有一环是 0，输出就是 0； ② 顺序无所谓（实数乘法可交换）—— 但不是"逐位相同"，因为浮点乘法不满足结合律 （规范那句是数学上的可交换，不是比特上的）。
★ 最后把"三个旋钮各自能不能把声音压到 0"摊开 —— 这是它们最实用的差别： 方位角能把一侧压到浮点零（±90° 时 cos(π/2) = 6.12e−17）；linear 能在大距离上精确压到 0（地板 `1−f`，`f=1` 时就是 0）； inverse / exponential 不能（只会越来越小）；声锥在外锥增益 0 时能精确压到 0。 而它们的共同点是：都在 [0, 1] 里，所以相乘只会让声音更小，不会更大。

输入 单声道信号 （本页是那个幅值） 三个已经算好的增益 gainL / gainR distanceGain coneGain 三者都在 [0, 1] 里 ⇒ 乘只会更小 方位角那一对不是"总" 增益：它是左右分配 （平方和 = 1） 另两个才是"总量" （都作用在两个通道上） 三个增益 → 两个通道（规范 §6.3.1 第 6 步） function spatial(sp, cfg) { // §6.3.1 第 6 步 const p = panGains(azEl(sp).az); // 左右两个 const d = distOf(sp); // 距离 const gD = distanceGain(cfg.model, d, cfg.dref, cfg.dmax, cfg.f); const gC = coneGain(sp, cfg, cfg.dir).gain; // 声锥 const totalGain = gC * gD; // ★ 相乘，不是相加 return { p: p, d: d, dg: gD, cg: gC, totalGain: totalGain, outL: p.gainL * totalGain, // 左通道 outR: p.gainR * totalGain }; // 右通道 } 注意左右两个增益用的是同一个 totalGain —— 距离与声锥不改变“左右怎么分” 本页输入幅值只被乘这一次，不会回头 改任何增益 输出（立体声） outL = 输入 · gainL · total outR = 输入 · gainR · total totalGain coneGain × distanceGain 一个 0 吃掉全部 相乘顺序可交换 但浮点上不逐位相同 上限：外侧一路乘下来 总不会超过输入
表④ 整条乘法链（方位角 +90° ⇒ 全右；距离 4；θ = 90°；内锥 120°、外锥 240°、外锥增益 0）。 三个模型只在 distanceGain 这一列不同，其余三列完全相同 —— 因为距离不改变"左右怎么分"。
距离模型gainLgainRdistanceGainconeGaintotalGainoutLoutR
运行时自检 等待脚本…