着色不是「给表面涂颜色」，而是解一个积分：对每个着色点，把所有入射方向的贡献按 BRDF 加权累加。 PBR 的全部内容就是——怎么把这一个积分算得既接近物理、又跑得动。 这个课题沿着一代代模型走：每一代都是对同一个积分更好的一次近似。
本节点在骨架的下一环 —— 上一课把「光打过来，这一点怎么反射」算全了，却把可见性整个留着没答：从这一点朝光源的路，中途有没有被挡。上一课那条算式里，压根没有「挡」这个字。
上一课只解决了「有光打过来时这一点怎么反射」：ρ = k_d·n·l·括号 + k_s·(n·h)^n·C·n·l
（k_d 是写进积分的 BRDF 系数 = 预算份额 k_d0 = 预算 − k_s ÷ π；
C = (n+8)/(8π)、瓣的积分对 dω_l —— 都是上一课定下的口径），
两项封在同一份预算里。可它从没过问「这一点看不看得见光源」。真实场景里挡光的东西遍地都是：
灯下伸一只手，墙上就按出一片很硬的黑影。这一课加的就是那个有没有东西挡在中间的量 ——
可见性 V。它不是一种新颜色、也不是一个新的 BRDF，它就是一个乘在直接光上的 0 或 1：
从表面点朝光源打一条射线，路上撞到东西 → 0，没撞到 → 1。
本段只增加一样东西：可见性 V（沿光方向的一条遮挡射线，撞到东西就返回 0）。
光照项、光源方向、粗糙度 σ、高光怎么算、高光瓣归一，五组控件与上一课完全相同；
另加一档「可见性 关 / 开」开关，好把两种口径摆在同一场景里对比。
与上一课相比，本段补了一件场景上的事（它不是一个新变量，只是把「影」摆到看得懂的地方）：
主球脚下放一块地板：y = −1 的平面，球正好坐在它上面，
于是影有了最标准的接收面 —— 地板上那块暗斑就是本段的主看点：
因（球）与果（地板上的暗斑）在同一个画面里，不必再让读者去猜「这块暗斑是谁的」。
画面里没有第二颗球：被挡的那颗就是主球自己 —— 主球面上每个点朝光源的射线，
只会撞上自己脚下的球体一次，所以对主球它问的是空遮挡（半径 0，永不命中），
球面上恒 V = 1、没有影；那块影全落在地板上，由主球自己投下。
同一段管线、同一段 WGSL，两次 draw 画两样物（主球 + 地板；地板走它自己那块四边面网格）。
于是地板上逐像素的可见性问的就是一句话：从这一点朝光源的射线，有没有被那颗球挡到。
w = wp − 球心、q = |w|² − R²），二次方程 t² + b·t + q = 0
的近根 t = (−b − √disc)/2 大于 0，就说明路上撞到了东西 —— 那一行返回 0，否则返回 1。
求交那六行带一个参数 o（问哪一颗球），最后两行 shadowVis 把
occ 与 occ2 问两次取小 —— 单球场景里 occ2 恒为空遮挡
（半径 0，永不命中），所以真正起作用的就是主球那一次：主球问空遮挡恒 V = 1、地板问主球（那块影就是它投的）。
这里的表面点是世界坐标：球是 自球心 + 自半径 × n（主球就是 n），
地板是平面上的交点 —— 于是同一段 WGSL、同一条管线，画出了两样物（每样一份 uniform）。
右列第三个「可见性 V」就是这件事的是/否结论，它随后乘在直接光的两项上（漫反射与高光都要它）。
下面这张小图就说一件事：主球投在地板上那块影的位置与宽度是怎么定出来的。 它是把场景沿「光源方向的竖直平面」切开的侧视图（横轴 = 光源方向的水平分量，竖轴 = 世界 y）， 图上每一样都由同一份常量（光源方向、球心、地板高度）算出，不是另画一张： 那条虚线从影心穿过球心指向光源方向 —— 影心就是「球心沿光源方向打到地板上的落点」； 球面上那条垂直于光源方向的直径是明暗界线，它两端沿光源方向打到地板的两个落点， 正好夹出影斑的两端（地板上粗黑的那一段）。影斑的宽度 = 球直径 / |l·n| = 2.000 / 0.707 = 2.828。 画面里没有第二颗球 —— 影只由主球自己投下。
右列三个数是一条链：n·l 是几何给的（这一点的朝向对光源的余弦），
遮挡射线近根 t 是那条射线与主球相交的近根，可见性 V 是它的是/否结论 —— 只可能是 1.000 或 0.000。
白圈钉在地板影心上（默认档那儿正压在影里）：V = 0.000、近根 t = 0.414（正数，撞上了）；
把「光源方位角」慢慢拖开、让影扫过去，白圈翻成 1.000（近根 t 那格变成「— 无命中」）。
它不是渐变：路上有东西就是 0，没有就是 1。同一个 V 也压在整块地板上 ——
默认档地板上那片影有 63744 个像素（占可见地板的 32.91%），连成一整片（最大连通 63744，就是整片一块）。
先切到「可见性关」。整颗球和你上一课看到的逐像素相同，地板也只剩环境光那一层 —— 右下读数里「球面V=0 / 地板V=0」是 0 / 0。再切回「可见性开」： 主球面仍和上一课长一个样（它不自己挡自己，球面上恒 V = 1）， 只是地板上那片影出现了 —— 读数跳到 球面V=0 0 与 地板V=0 63744（占可见地板 32.91%、占整幅画面 11.07%，连成整片一块）。 这块黑不是涂上去的：它是主球自己投的 —— 球就坐在自己影子的正上方， 因（球）与果（地板上那片暗斑）在同一个画面里。
再拖两个角度。方位角只让影绕着球转，大小不变 —— 影的大小只取决于高度角的 sin el： 光越斜（|l·n 越小）影拉得越长，正上方 el = 90° 时缩成一个半径 R 的圆。 因为「挡不挡得住」是光源与球之间的事，不是表面上刷的一层。 V 不会「越来越小」，它只有「撞上 / 没撞上」两个值。 拖「画面」转视角时，影钉在场景里不动 —— 它属于场景，不属于屏幕； 视角一换，你从另一个方向看同一片影。
白圈就是件一右列 / 件三 ② 监视的那一点（地板影心）。默认档它正压在自己影子里：
件一的 V = 0.000、近根 t = 0.414（正数，撞上了）；把「光源方位角」拖到约 110°～335°
（光绕到球的另一侧、影跟着转走），白圈出影：翻成 1.000、近根 t 变成「— 无命中」。
要看最清楚的一跳，看件三③ 影缘那两行：影里 ρ 含V 是 0.000，一出影立刻从 0 蹦到
0.17 —— 而 ρ 不含V 在整块地板上几乎不动（那是地板 n·l 恒定的缘故，见③ 的说明）。
切到「只环境光」：环境光那一项照样亮 —— 它没有光源可挡，所以 V 碰不到它。 这是本段要看的一个旁证：V 只乘在直接光上。
先在「本段新增」那一档来回切：注意看主球面始终不变（它不自己挡自己，球面上恒 V = 1）， 只有地板上那片影开关时出现 / 消失；右下读数的「球面V=0 / 地板V=0」在 0 / 0（关）与 0 / 90597（开）之间跳。再把「光源方位角」从 40° 慢慢拖到 40°+360°： 地板上那块影绕着球稳稳转一圈、大小不变（大小只随高度角变）。最后拖「画面」转半圈： 影跟着场景走，不跟着屏幕走 —— 它属于场景，不属于屏幕。 想核几何的话，件三 ① 的最后两行就写着地板影心 T 与半轴。
| 项 | 值 | |
|---|---|---|
| 项 | 值 | |
|---|---|---|
| α | n·l | |Δ⊥| | V | ρ 含V | ρ 不含V |
|---|
n·l —— 地板法线恒朝上，而 n·l = l.y = sin el = 0.707
在整个地板上处处同名（光打到每一寸地面都一样亮，只要没被挡）；② 那条遮挡射线撞不撞得上 ——
把 C − p 在垂直于 l 的平面上的投影长度记作 |Δ⊥|（表里第 3 列），
它小于主球半径 R = 1 就撞上（影缘即 |Δ⊥| = 1，对应 α = R/|l·n| = 1.414），那一行 V 就是 0。ρ 含V = V·(k_d·n·l·括号 + k_s·(n·h)^n·C·n·l)、
ρ 不含V 就是上一课那条算式（一个 V 都不乘）；
两项各自都带出射余弦 max(0, n·l)（与上一课同一处）。
（本课与上一课同口径：k_d 是写进积分的 BRDF 系数 = 预算份额 ÷ π，C = (n+8)/(8π)。）
于是表里有个很干净的对比：因为 n·l 恒定，ρ 不含V 在整排几乎不动
（0.193 → 0.171，只有菲涅尔随视线角微变）；而 ρ 含V 在影里是 0.000、
一出影（α = 1.50、|Δ⊥| = 1.061 越过 1.0）立刻蹦到 0.174 —— 那个跳就是本段加的一个乘子。T = 球心 − ((球心.y − FY)/l.y)·l，
本档 = (−0.766, −1.000, −0.643)）：默认档它正压在影里，n·v = 0.514、n·l = 0.707、
近根 t = 0.414（正数，撞上了）、V = 0.000，ρ 含V = 0.000 而
ρ 不含V = 0.193 —— 同一份预算，只被乘了一个 0。
把「光源方位角」拖到约 110°～335°，影绕着球转走、白圈出影：近根 t 变成「— 无命中」、V 翻成 1.000。R/|l·n| = 1.4142、垂直方向 = R = 1.000。
页面自检里另有一份实测：在地板平面上按 0.02 步长解析采样，凡那条射线命中主球者计入、取质心 ——
实测 (−0.7662, −0.6429)，与理论差 0.0005（世界单位）；半轴实测 1.4123 / 0.9978（差 ≤ 0.002，来自采样步长）。
这两条就是验收判据 ⑤。整个画面里就一个物体（主球）一块接收面（地板）——
没有第二颗球，影只由主球自己投下。
知道「阴影」在这条链上可以落成一个很朴素的乘子：一条从表面点朝光源打出去的射线， 路上撞到东西返回 0、没撞到返回 1，乘在直接光的两项上（漫反射和高光都要它）。 把它关掉，画面与上一课逐像素相同；打开，被挡的那些地方立刻暗掉 —— 默认档在 960×600 上是一处：地板上 63744 个像素 （占可见地板的 32.91%、占整幅画面 11.07%，连成一块 63744 像素的整片）； 主球面上一个都没有（它不自己挡自己，球面 154476 个像素全在亮侧）。 而环境光一分不减 —— 因为环境光那一项没有光源可挡。 也看到那条射线问的是场景里的物体：本批把接收面从球面扩到球面 + 地板， 最要紧的是地板上那块影 —— 球就坐在自己影子的正上方，因（球）与果（地板上的暗斑） 在同一个画面里，读者能直接指着说：这块影是这颗球投的。地板上的每一像素问的还是同一句话： 从这一点朝光源的射线有没有被球挡到；那条几何关系（光源方向 + 球心 + 地板高度 → 影心）页面自己核过 （理论 vs 实测差 0.0005）。 还看到它很粗：V 只有 0 与 1 两个值，所以影子的边是一刀切的。真实的光源有面积， 影子的边该有一段从暗到亮的渐变（半影）；它现在连「挡住的那块是不是该沾一点余光」都答不了。 那个渐变，是下一段要加的东西。
本节点在骨架的下一环 —— 上一段把「看不看得见光」落成了一个 0 或 1 的乘子。那个乘子很好用，可它答不出一件天天都能看见的事：影子的边，从来不是一刀切的。
上一段只解决了「这一点看不看得见光源」：从表面点朝光源打一条射线，撞到东西返回 0、没撞到返回 1，乘在直接光的两项上。可现实里没有「一个点」的灯 —— 太阳、灯管、窗户，光源本身都有大小。
光源一有大小，「这一点看得见光源吗」就不再是「看得见 / 看不见」两句话：它可能只看得见光源的一部分。
本段只增加一样东西：光源不再是一个点，而是一个有张角的圆盘 —— 角半径 θ。
其余全部与上一段完全相同：同一份 BRDF、同一套射线–球求交、同一个 V 乘在直接光两项上、同一颗主球与同一块地板；上一段那条射线只是这里 θ = 0 的特例。
于是那条射线变成一簇：绕光源方向 l 在圆盘上撒 N = 32 个方向，逐个问「这条撞到球没有」，数出被挡住的个数 k，V = 1 − k/N —— V 就从「0 或 1」变成「0 到 1 之间的一个比例」。
本段要看的就是这个比例在地面上铺出来的东西：半影，影子里那条从暗到亮的过渡带。它有两件可以按笔核的事 ——
① V = 0.5 的那条线钉在上一段那条硬影缘上不动（遮挡界线的仰角恰好等于光源中心仰角）；
② 半影的宽度正比于 θ，也正比于这一点到遮挡物的距离 —— 所以同一片影的两条边，宽度能差好几倍。
（现实里太阳的角直径只有 0.53°，这里把 θ 放大到几度量级才看得见这个渐变；方向对了，量级是故意放大的。）
e1 / e2 是垂直于 l 的一组正交基，diskAt(i) 用黄金角把 32 个采样点均匀铺在圆盘上
（rr 取开方，点才是按面积均匀的），sampleDir 再把它们搬到垂直于 l 的平面上、
放大到 ang = tan θ 的张角；
循环体里还是上一段那一句 hitOcc（二次方程近根 > 0 就算撞到），只是对它撒了 32 次，
k 数出撞上的次数，最后 V = 1 − k/32。θ = 0 时 32 个方向全都退化成 l，
这一行就悄悄变回上一段那个 0 / 1。
第一行是空遮挡的直通：两组挡光球的半径加起来还是 0（主球自己不挡自己）就直接返回 1、不进采样循环 ——
这不是特例，是那一行 min(h1, h2) 在半径都是 0 时的恒等式；于是整颗球面一个采样都没花，恒 V = 1，
球的样子与上一段逐像素相同。32 这个数固定不动 —— 它要花多少代价，是 4.3 的事。
下面这张小图就说一件事：半影的两条边是怎么定出来的。
还是上一张那张侧视切面（横轴 = 光源方向的水平分量，竖轴 = 世界 y），每一样都由同一份常量算出，不是另画一张。
光源不再是一个方向，而是仰角 el − θ 到 el + θ 的一段：从地面上的某一点出发，
仰角落在这一段里的射线，有的撞得到球、有的撞不到 —— 撞得到的比例就是那一点的 V。
把这把「仰角尺子」贴着球推一圈，就切出三段：全都能撞到的是全影（仍然是纯黑，只是比上一段缩了），
全撞不到的是全亮，中间那两段就是半影。四条分界线上，恰好有一条射线与球相切。
图上的数字全是这一份几何给的：影心不动（u = −cot el = −1.000），
V = 0.5 的那条线就是上一段那条硬影缘 u = ∓cot(el/2)（= −2.414 / +0.414），θ 再大也不挪；
本图这一档（θ = 6°）两条半影分别宽 0.727（外侧）与 0.123（内侧），比 5.92，
而闭式给的比是 cot²(el/2) = 5.83 —— 差的这一点来自「宽度正比于该点到遮挡物的距离」这条一阶近似。
把「本段新增」那一档的 光源角半径 θ 从 0° 慢慢拖到 12°，
盯住地板影子的左边那条边（离光源远的那一侧）。θ = 0 时它与上一段一样是一刀切；
一离开 0 就开始散开成一条带，越拖越宽、越拖越软。同时看右下角的读数与白圈：
白圈钉在地板上一个固定点 (−1.762, −1.000, −1.478) —— 它一直在影子里，
可 V 会从 0.000 一路爬到 0.469（被挡住的光源从 32/32 掉到 17/32）：
影子还在那儿，只是漏进来快一半的光。这就是半影之所以是「从暗到亮」而不是「换个颜色」的原因 ——
它数的是一簇射线里有多少条还在路上被挡着。
再把视线移到右边那条边。同一次拖动里，它几乎没动 —— 因为那一条边紧挨着球， 从它上面出发的射线没走多远就撞上球了，光源两端射来的射线落在球上的位置几乎重合。 θ = 6° 时两侧半影的宽度是 0.727 与 0.123，差 5.9 倍。 所以「影子的边软不软」不是光源一个人的事：离遮挡物越远越软，越近越硬。 把「光源高度角」拖到底（el 很小）这个差别会更极端 —— 影子被拉得越长，远端越糊。
先把 θ 归零。画面与上一段逐像素相同：地板上那片影是一块边沿锋利的暗斑， 右下的「本影 / 半影」读数是 63744 / 0 —— 一个半影像素都没有。
再把 θ 拖到 6°。影子的左边散成一条带，本影缩到 45697 个像素（占地板 23.60%）， 半影自己占 36807 个（19.01%，占整幅画面 6.39%）；右边几乎还是硬的。 读数里的「挡住的光源」从 32/32 变成 22/32——V 就是 1 减去这个比例。
拖到 12°。半影涨到 60352 个像素（31.16%），比本影（32454）还宽； 白圈那一点的 V 走到 0.469，被挡住的光源只剩 17/32。 θ 只让影缘散开，不让影心挪动：V = 0.5 那条线始终压在上一段那条硬影缘上 （θ = 6° 时实测在 u = −2.4075，闭式 −2.4142，差 0.007）。
切到「可见性关」：影整个没了，半影当然也没了。半影不是另一种影，它就是 V 本身在铺开 —— 这条链上没有任何新的乘子，只是那个乘子不再只取 0 和 1。
| 项 | 值 | |
|---|---|---|
| 项 | 值 | |
|---|---|---|
| α | |Δ⊥| | 挡住的光源 | V | ρ 含V | ρ 不含V |
|---|
|Δ⊥| 是球心到这条射线的垂距（上一段那套，小于 R = 1 就撞上）；θ = 6° 时地面上
|Δ⊥| = 0.707·α，所以上一段那条硬影缘落在 α = 1.414 这一行。
第 3 列是这一段的全部新东西：32 个采样方向里有几条撞上了球 —— 它给出一个整数，
V 就是 1 − 这个数 / 32。ρ 上看：ρ 不含V 在整排几乎不动（0.193 → 0.204，只有菲涅尔随视线角在微动）；
ρ 含V 从影里的 0.000 一路平滑爬到 0.204 —— 上一段那个「跳」变成了这条斜坡。u = ∓cot((el+θ)/2)、
全亮边 u = ∓cot((el−θ)/2)（右端是 tan）。本档（θ = 6°）代进去是
本影 [−2.097, +0.354]、全亮在 [−2.824, +0.477] 之外 ——
两条半影宽度 0.727 与 0.123，比 5.92，与闭式 cot²(el/2) = 5.83 对得上。
页面自检里另有一份实测：在 ehL 轴上按 0.0002 步长扫出四条边界，
与闭式的最大偏差 0.047（世界单位，θ ≤ 12°）—— 这一点偏差来自 32 个采样点铺不满整个圆盘。
知道「软影」并不需要一条新公式：把上一段那一条射线换成撒在光源圆盘上的一簇射线，
数出撞上的比例，V 自然就从 0 / 1 变成 0 到 1 之间的连续值 —— 那个渐变就是半影。
θ = 0 时这一簇退化成一条，画面与上一段逐像素相同（读数 63744 / 0）；θ = 6° 时本影缩到 45697 个像素
（占地板 23.60%）、半影自己占 36807 个（19.01%、占整幅画面 6.39%）；θ = 12° 时半影 60352 个（31.16%），
比本影还宽，而它横跨了 31 个不同的 V 值 —— 是连续过渡，不是几档跳变。
也才知道这条带的两条边能被笔算出来：本影边 ∓cot((el+θ)/2)、
全亮边 ∓cot((el−θ)/2)，本档代进去是 [−2.097, +0.354] 与 [−2.824, +0.477]，
页面用 0.0002 的步长在地面上扫过一遍，与闭式最大差 0.047。
最有用的一条是带子往哪边长：V = 0.5 那条线钉在上一段的硬影缘上不动（实测差 0.007），
影缘向两侧摊开，两侧的宽度却差 5.92 倍（闭式 cot²(el/2) = 5.83）——
因为宽度正比于这一点到遮挡物的距离，不只是光源有多大。影心不动、边在散开、
散开的量两边不一样：这三件事合起来，就是「影子的边为什么不硬」。
也看到那颗球一个采样都没花（空遮挡直接返回、恒 V = 1，球面 154476 个像素与上一段一模一样）
—— 而每个地板像素要撒 32 条射线。这个账，是下一段要算的。
本节点在骨架的下一环 —— 上一段把影子的边做出了从暗到亮的渐变。可它换来那个渐变的办法，是每个地板像素都撒 32 条射线；而每一条射线都要去问「路上有没有东西」。一颗球还问得起，一片草、一座楼就问不起了。
上一段的代价写得明明白白：地板上的每一个像素，都要把「路上有没有东西」重新问一遍，而「东西」就是场景本身。
本段场景里只有一颗球，一帧就要问 6,197,248 次（193,664 个地板像素 × 32 条）；场景里多一颗球，这个数再翻一倍 ——
这支开销里有一项是「场景有多复杂」，而那一项会随美术资源一直涨。
本段只增加一样东西：把「问场景」这一步挪到前面去 —— 先换一个视角（光源自己）把场景渲一遍，渲成一张深度图；之后每个着色点只查这张图的一个格子。
其余与上一段完全相同：同一颗球、同一块地板、同一份 BRDF、同一批 32 个采样方向、同一个 V = 1 − k/N。
θ 还是那个 θ，只是它现在决定「在图上查多大一圈」（半径 = tanθ·d，d 就是上一段那个到遮挡物的距离）。
于是账单从「每像素 × 每采样 × 每物体」变成「一次渲染 + 每像素 × 每采样」：
着色阶段一次都不再碰场景，那一项随场景增长的成本被提前一次性付掉了（本档 6,197,248 → 7,160，约 866 倍）。
代价不是白拿的：图是一张有限的格子。影缘的准度从此不再由采样数决定，而是由一格在地面上盖多大决定 ——
这就是本段要看的那个新误差。
diskAt(i) 还是那 32 个采样点（黄金角圆盘），ta / tb 把它们搬到图上，
mapAt 读一个图格（越界返回 1.0 = 图上没东西），Ldb < NOGEO && Ldb < Ldp − u.map.w
就是「图里记着的东西比这一点更靠近光源」——和上一段那句 hitOcc 的回答完全对应，
只是回答它的是一张预先算好的图，不是场景本身。rad = tanθ·d 是采样半径（上一段的半影结论原样搬过来），
NOGEO 是「这一格上没有东西」的哨兵（清值 1.0 不能被当成一个更近的遮挡物），
u.map.w 是深度比较的偏置。
框外还有几行（页面对它们也做了逐字自检）：空遮挡的直通「主球自己不挡自己，于是它一个格子都不查、恒 V = 1」，
以及这一点的图上坐标 ap = wp·e1、bp = wp·e2 与它自己的深度
Ldp = (Cmax − wp·l)/range。
这张小图就是本段新增的那个东西本身：光源视角的一张深度图。
它是一张 W×W 的方格纸（本图 256×256，画成 1 格 = 1 像素），每格写着一个数：
从这一格出发、沿着光源方向看过去，最近的东西在多远。
光是从 +l 方向来的，所以球在这一视角下就是一个圆盘：
圆心（a = b = 0）最近，Ld = 0.250；越靠边越远，圆边（|(a,b)| = 1）是 Ld = 0.500；
圆盘之外什么都没有，清成 1.000（这一格上没东西）——
这几个数都能拿笔算：Ld = (2 − √(1 − a² − b²)) / 4。
白点是被监视的那一点在图上落的位置，周围那一小圈就是它的 32 个采样点（半径 tanθ·d = 0.245，
合 10.5 格）。它们有的落在圆盘里、有的落在圆盘外 —— 落在圆盘里的那几条，就是挡住光的那几条。
外框是这张图的覆盖范围（|a|, |b| ≤ 3）：图是有边的，边外这张图答不了。
把「本段新增」那一档的 深度图分辨率 从 512 拖到 64， 盯住地板影子的左边那条从暗到亮的带。格子在变粗，可是那条带的宽度几乎没变 —— 变的是它被格子啃出的一级级台阶：W = 512 时一格在地面上只占 0.008 个世界单位（约 1 个画面像素）， W = 64 时是 0.066（约 8 个像素），一条本该平滑的边就被啃成了锯齿。 这跟上一段的旋钮是两种东西：θ 换的是「影子有多软」，W 换的是「影缘有多准」。
再看读数。分辨率一降，半影像素反而变多了（W = 512 时 37017 → W = 64 时 40025，+8.1%）—— 这不是影子变软了，是那条边被粗格子摊开了：本该一步跨过去的明暗界线，现在被几格糊成了一段。 同时右下那行「本帧问场景」始终是 0 次 —— 着色阶段一次都没碰过场景， 它读的是那张提前算好的图（W = 256 时 6,197,248 次读图，加一次渲染的 7,160）。 而 V = 0.5 那条线照样钉在上一段的硬影缘上（W = 256 时 −2.3960 vs −2.4142，差 0.018）：图粗了，影子的重心没动。
先把分辨率拖到最大（512）。影子的边是一条平滑的带，跟上一段打射线得到的几乎一模一样 —— 件三 ③ 就摆着两版逐行的对照：32 个采样里最多只差 3 个。
再一路拖到 64。那条带开始被啃出台阶：一格在地面上盖 0.066 个世界单位（约 8 个画面像素）， 一级台阶就这么宽。半影像素反而涨到 40025（512 时是 37017）—— 不是影子更软了，是那条边被粗格子摊开了。
拖「光源角半径 θ」。上一段的结论在这里原样成立：采样半径 = tanθ·d，
离遮挡物越远那一圈越大，半影也就越宽。区别只在于：上一段那一圈是 32 条射线，
这一段那一圈是 32 次查图 —— 同一个 θ，换了一种问法。
看右下那行读数。「问场景」永远是 0 次；每帧要付的是 193664×32 = 6197248 次读图， 加一次渲染（球覆盖的 5720 格 + 1440 个三角形）。读图那一项跟场景里有多少东西无关 —— 这正是这张图买到的东西。
| 项 | 值 | |
|---|---|---|
| 项 | 值 | |
|---|---|---|
| α | |Δ⊥| | 射线/32 | 图/32 | 射线 V | 图 V |
|---|
|Δ⊥| 是球心到这条射线的垂距（上一段那套，< 1 就撞上）。
W 拖到 64 时这一列会开始出现 ±7 的差，且越靠影缘差得越多 —— 那不是算错了，是图粗了。(113, 91) 格，
那一格记着 Ld_b = 0.4023；这一点自己的深度是 Ld_p = 1.0834；
图上记着的东西比它近，所以它被挡。32 个采样点的半径 tanθ·d = 0.1051 × 2.3335 = 0.2453
个世界单位 = 10.5 格，于是查图落在离 (113, 91) 十来格的地方 ——
落在圆盘里的那 22 个算被挡，V = 1 − 22/32 = 0.313，与上一段打射线得到的 0.313 一样。
知道「一片影的代价」可以重新分配：把「问场景」从每个像素问一遍改成一个新视角下先渲一遍，
存成一张深度图，之后每个着色点查一个格子。着色阶段的账单里从此没有「场景有多复杂」这一项 ——
本档问场景 6,197,248 次变成 7,160 次（约 866 倍），而 32 个采样点、V = 1 − k/N、
rad = tanθ·d 这些一个都没变：换的是问法，不是影子（件三 ③ 里两版逐行对照，
32 个采样最多差 3 个）。
也看到了这张图自己长什么样：它是光源视角下的一张高度场，球在图上就是一个圆盘，
每格的数能按笔算 Ld = (2 − √(1 − a² − b²))/4（圆心 0.250、圆边 0.500、圆外清值 1.000）。
最要紧的是它把误差换了一种：影缘准不准不再看采样数，而看一格在地面上盖多大 ——
W = 512 时 0.008 个世界单位，W = 64 时 0.066（八倍），影子的边就从一条平滑的带被啃成锯齿；
而 V = 0.5 那条线照样钉在上一段的硬影缘上（W = 256 时差 0.018）——图粗了，影子的重心没动。
还看到一个边界：图是有边的一个盒子（本档 |a|, |b| ≤ 3），盒子外这张图答不了 ——
真实工程里为此要级联好几张图（本课附录 A1）。
到这里，阴影这条链就走完了：可见性是乘子 → 面积光源给它渐变 → 预渲一张图把它付得起。
下一课换一条链：材质与形状。
跑不起来先看设备要求：活例由真 GPU 出画面 —— 手机需 Android 12+ 且 Chrome 121+，或 iOS / iPadOS 26+；电脑需 Chrome / Edge 113+ 或 Safari 26+。Android 上取不到适配器多是设备不支持 Vulkan 1.1+，会自动改走兼容模式（需 Chrome 146+）。不满足时画面区会写出原因与自查步骤，同一页的示意图与数值表照常可读。