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关节：为什么 ragdoll 会抖成面条

全课骨架：物理模拟每一帧只做三件事 —— ① 对每个物体积分；② 找出接触（谁压着谁、压多深）；③ 解约束（按质量分配地纠回来）。 第 3 课的接触、第 4 课的绳，都是"两个物体各自有位置、被一条规则拉住"。关节是同一类东西的第三种形态： 它不需要 ② —— 约束方程直接就写在两个刚体之间（"这两个锚点必须重合"），而它的新东西是 物体开始会转：位置对了不够，还得让转动也听话。ragdoll 抖，抖的就是这一层。 保真度：真机可证（画面与读数都由本页自己的刚体求解器给出；对照物是复摆的闭式周期与关节误差，读者能拿笔复核）。

（脚本启动中…）

定点观察：先看「5.1 点约束（含转动项）」，棒会像一个复摆那样摆；再点「5.1 变体：不含转动项」→ 看关节处的白点与棒的距离 → 不含转动项时锚点会分离、周期也乱（差多少见表①）。

本帧的读数

（脚本启动中…）

5.1 段 · 把两个锚点钉在一起

本段只增加一样东西：关节约束（一个点约束把一个刚体的局部锚点钉到世界锚点上；其余控件与本课各段一致）。 保真度：真机可证。接触要"先检测到才算数"（第 3 课），绳是"相邻粒子之间"（第 4 课）； 而 ragdoll 的肩关节既没有接触、也不是粒子对 —— 它是两个刚体各自的局部锚点必须落在世界上的同一个点。 新的麻烦是：物体现在会转，所以约束的有效质量里除了 1/m，还要多一项 (r×n)²/I。

输入 这个阶段在执行的规则（照抄件二真源码） 输出 两个锚点世界坐标 r = 锚点 − 质心 质量 m、惯量 I 棒：I = mL²/12 转动项 (r×n)²/I 开/关由按钮切 function solvePoint(c, iters) { const pA = anchorOf(A), pB = anchorOf(B); const C = Math.hypot(pB.x-pA.x, pB.y-pA.y); let kk = wOf(A) + wOf(B); if (SPIN) kk += (rAn*rAn)/A.I + (rBn*rBn)/B.I; const lam = -rel / kk; // 不含位置偏置 B.v += wOf(B)*lam*n; B.w += lam*rBn/B.I; A.v -= wOf(A)*lam*n; A.w -= lam*rAn/A.I; ★ 位置误差另由 projectPoint 消（同一套有效质量）；少了转动项 ⇒ 传不了力矩 有效质量（逆） 1/m + (r×n)²/I 锚点离质心越远 ⇒ 转动项越大 不含转动项时 棒根本不转 （见表① 后两列）
定点观察：先点「5.1 点约束（含转动项）」，再看「5.1 变体：不含转动项」 → 看棒还在不在摆，以及表① 后两列 → 不含转动项时棒彻底不动了：它转过的角度是 0.0000°，连周期都测不出来： 因为约束冲量是按有效质量的倒数分的，漏掉 (r×n)²/I 那一项，这条约束就只能改平移、不能传力矩 —— 物体被"钉住了位置"却转不动。含转动项时它是规规矩矩的复摆，周期贴着闭式 2π√(2L/(3g))（误差 ≤0.21%）。
表① 复摆：点约束算出的周期对两条闭式解（m = 1、初始角 0.15 rad 的小角度、h = 1/60 s、迭代 4 次）
棒长 L (m)闭式复摆 2π√(2L/3g) (s)实测（含转动项）(s)相对误差实测（不含转动项）(s)不含转动项时棒转过的角度

算式：匀质棒绕质心 I = mL²/12；锚点在端点 ⇒ 由平行轴定理绕锚点 I_锚 = I + m(L/2)² = mL²/3。 复摆的周期 T = 2π√(I_锚 / (m·g·d))，d = L/2 ⇒ T = 2π√(2L/(3g))。拿 L = 0.6 验算： 2π√(1.2/29.43) = 2π×0.20195 = 1.2689 s —— 表① 那一行（含转动项）实测 1.271，差 0.21%。
这条式子只在小角度成立（大角度周期会变长，修正是 O(θ²)）；本表用 0.15 rad（8.6°），修正量约 0.14%，可忽略。
不含转动项那一列是本段的正题，而且结论比预想的更硬：它不是"周期偏一点"，是"根本没有周期" —— 实测棒转过的角度是 0.0000°。原因：位置级投影照样能把锚点拉到重合（所以看不到分离）， 但没有 (r×n)²/I 这一项，冲量就无法产生角冲量 ⇒ 这条约束只能改平移、传不了力矩， 于是棒被钉在一个固定姿态上、只有质心被锁住 —— 一个关节如果传不了力矩，绑出来的就是木头人，不是骨架。

5.2 段 · 只能转到这儿：关节限位

本段只增加一样东西：角度限位（在同一个点约束之外，再加一条"相对角不许超出 [−θmax, +θmax]"；其余控件一致）。 保真度：真机可证。5.1 把位置钉住了，可棒还能自由转一整圈 —— 真实的肘关节不是这样。 限位是同一种约束的一个更简单的版本：它落在角度上，不是位置上，所以有效质量只剩 1/I_A + 1/I_B（没有 (r×n)² 那类项）。

输入 这个阶段在执行的规则（照抄件二真源码） 输出 限位角 θmax 相对角 rel = aB − aA 相对角速度 relW 这一条没有位置项 ⇒ 有效质量只有 1/I_A + 1/I_B 纯耗散（撞上就停） function solveLimit(c, iters) { const rel = B.a - A.a, relW = B.w - A.w; if (rel >= c.lo && rel <= c.hi) return; // 在范围内不管 const tgt = rel < c.lo ? c.lo : c.hi; const kk = wAng(A) + wAng(B); const lam = -relW / kk; // 越界时把相对角速度归零 B.w += lam * wAng(B); A.w -= lam * wAng(A); } ★ 越界才出力；撞上去是纯耗散的（不回弹） 相对角被钳在 [−θmax, +θmax] 实测最大偏离角 应当逐位贴着 θmax 硬限位会抖动 （真引擎会加恢复系数/软限位） 本页如实标出这一点
定点观察：点「5.2 关节限位」，把「限位角 θmax」从 5° 往右推 → 看表② 的「实测最大偏离角」与画面里棒被挡住的位置 → 限位角设多小，棒的偏离角就恰好被压到多小（差 1e−15 量级）；但推到 45° 以上就完全不生效了： 因为棒在这个初速下的自然摆幅只有 27.6°，够不到那么大的限位 —— 限位不是"把角度变小"，它只在"本来会撞到"的时候才有作用。 这也说明关节限位与弹簧的区别：它不是一根把角度往回拉的弹簧，而是一条只管"不许超过"的硬规则。
表② 关节限位：相对角被钳在哪个角上（m = 1、L = 0.6、迭代 4 次、初始角速度 −3 rad/s）
θmax (°)实测最大偏离角 (°)差 (°)帧末越界占比

算式：限位这一条没有位置项，它的有效质量就是 1/I_A + 1/I_B（锚在世界时只剩 1/I_B = 12/(mL²)）。 拿 L = 0.6、m = 1 验算：I = 1×0.36/12 = 0.03 kg·m² ⇒ 一次冲量要改变 1 rad/s 需要 0.03 N·m·s —— 这就是"让这根棒转起来多难"的度量。
表② 的读法：前两档的「差」是 1e−15 量级（也就是逐位咬住）—— 限位是硬约束，它把角度恰好压在 θmax 上； 第 4 行是特意留的对照：θmax = 45° 时实测只有 27.6°，因为棒在这个初速下的自然摆幅就是这么大、根本没撞到限位 ⇒ 限位不生效。 限位只在"本来会超"的时候才有作用，它不改变本来就合规的运动 —— 这一句是这一段最该记住的。
最后一列「帧末越界占比」四行都是 0.00%：这是位置级投影的功劳（越界当帧就被纠回来）。 本页如实标出限制：真正的引擎里硬限位配合速度级的恢复系数才不抖，本页没有做那一层，所以只报告"帧末"的越界占比。

5.3 段 · 让它自己转：motor

本段只增加一样东西：motor（驱动）（把限位换成"把相对角速度打到目标值"；其余控件一致）。 保真度：真机可证。限位只能挡，挡不出动作。想让它自己转（风车、机器人关节、车轮）就得给一个目标： motor 就是"把相对角速度驱到 ω_target"的那条约束 —— 形式和限位一模一样，只把目标从"角度边界"换成"角速度值"。

输入 这个阶段在执行的规则（照抄件二真源码） 输出 目标角速度 ω_target 当前相对角速度 最大冲量 maxLam 没有 maxLam 时 一步就到位 （＝无限扭矩） 有 maxLam 才是电机 function solveMotor(c, iters) { const relW = B.w - A.w; const kk = wAng(A) + wAng(B); let lam = (c.target - relW) / kk; lam = Math.max(-c.maxLam, Math.min(c.maxLam, lam)); B.w += lam * wAng(B); A.w -= lam * wAng(A); } ★ 同一条式子：限位把目标写成"角度边界"，motor 写成"角速度值" 区别只在"目标量"是什么 —— 再加一条电池/重量，就是机器人关节 稳态相对角速度 应当逐位 = ω_target maxLam 越小 ⇒ 起步越慢 但稳态值不变 （那是目标的定义） 能量在涨（电机做功）
定点观察：点「5.3 motor」，把「motor 目标 ω」从 0.2 拉到 3 → 看画面里棒的转速、以及表③ 的「实测稳态 ω」 → 稳态角速度逐位等于你设的目标值，和棒长、和迭代次数都无关： motor 不是"给一个力"，而是"给一个必须满足的速度"—— 所以它会做功（能量在涨），这也是它和前面所有约束最大的不同。
表③ motor：稳态相对角速度对目标值（m = 1、迭代 4 次、跑满 4 s 后取末段平均）
目标 ω_target (rad/s)实测稳态 ω (rad/s)差末态能量 (J)

算式：一次冲量把相对角速度从 relW 打到 target，需要 λ = (target − relW) / (1/I_A + 1/I_B)， 所以稳态时 relW 恒等于 target（残差只剩数值误差）。拿 target = 1.2 验算：稳态相对角速度就是 1.2 rad/s —— 表③ 那一行应当逐位对上。 第 4 列要如实看：能量在涨，因为电机在做功（W = τ·Δθ）—— 这是本课唯一一个"能量不守恒是应该的"段， 它的账不能拿守恒判据去卡（本页在门禁里把这一段标成"不查能量"，改由"稳态值 = 目标值"这条断言来管）。

5.4 段 · 为什么 ragdoll 会抖

本段只增加一样东西：把关节串成链（节数 ≥ 2，其余控件一致）。 保真度：真机可证。5.1~5.3 都只有一条约束，一遍就解完了。真实角色是一串关节： 肩带着肘、肘带着腕 —— 而且求解器是按顺序一条一条解的，解完肩再解肘时，肩那一条又被弄歪了。 一遍扫描只把信息传一节，剩下的就是"抖"。

输入 这个阶段在执行的规则（照抄件二真源码） 输出 迭代次数 iters 节数 nb 关节误差 = |pB − pA| 一遍扫描只传一节 顺序是自根向梢 ⇒ 解梢时动摇了根 迭代 = 多扫几遍 function stepRig(bs, cs, h, iters, gx, damp) { for (const b of bs) if (!b.fixed) { b.vy += G*h; b.vx += GX*h; } for (let k = 0; k < iters; k++) for (const c of cs) solveOne(c); // ← 速度级一遍 for (const b of bs) if (!b.fixed) { b.x += b.vx*h; b.y += b.vy*h; b.a += b.w*h; } for (let k = 0; k < iters; k++) for (const c of cs) projectOne(c); } ★ 一帧 = 重力 → 速度级 ×iters → 积分 → 位置级 ×iters（与第 3 课同一套两级分工） 所以"抖"不是随机噪声 —— 是没解干净的残差在每帧换方向 真引擎的解法：子步 + warm starting + 松弛因子（都在附录） 关节最大误差 iters = 1 时最大 每翻一倍迭代 误差再缩一截 节数越多 ⇒ 收敛越慢 这就是"面条感"的来源
定点观察：点「5.4 关节链」，把「迭代次数」从 1 拉到 8，再把「关节节数」从 2 拉到 4 → 看表④「关节最大误差」以及画面里各节之间有没有被拉开 → iters = 1 时误差 349 mm（每节才 600 mm 长，等于被拉断了）；加到 8 次降到 44 mm，每加一档都掉到上一档的 0.4~0.6 倍： 抖不是随机噪声，是没解干净的残差每帧换一个方向 —— 这和第 3 课"叠塔要迭代"是同一件事， 只是这里的链更长、还带转动。而且这条链是"准静态加载"（竖直起步 + 重力斜约 20°）， 所以表里的数是干净的稳态量；如果让四节从水平甩下来，误差会被起步那一瞬主导，四档的差别就被运气盖住了。
表④ 关节链：迭代次数与稳态关节误差（L = 0.6、m = 1、4 节、竖直起步 + 重力斜约 20° 的准静态加载、跑满 4 s、取后 1/3 的峰值）
迭代次数关节最大误差 (mm)链末端最低点 (m)相对上一档

算式：一遍自根向梢的扫描，只把"根的要求"传到第一节；要让信息走完 nb 节，至少要 nb 遍。 表④ 实测：迭代 1 → 2 → 4 → 8 时，稳态关节误差是 348.6 / 194.2 / 77.3 / 44.5 mm， 「相对上一档」是 0.557 / 0.398 / 0.576 —— 一路在缩，是持续收敛（不是"过某个次数就没事了"）。 拿"每节 600 mm 长"当尺子验算量级：iters = 1 时误差 349 mm ≈ 半节棒长，肉眼就是"被拉断了"； iters = 8 时 44 mm ≈ 7% 节长 —— 仍然是能看见的面条感，这正是真引擎还要叠上子步与 warm starting 的原因（附录）。
另外两条如实标注：这是准静态加载（竖直起步、重力斜约 20°、加了与上一课同源的一点速度阻尼）， 所以量到的是干净的稳态误差；「链末端最低点」用来交叉验证 —— 关节被拉开时链会"变长"、末端荡得更低（2523 → 2028 mm）。

课末：这五课其实是一件事

把五课的名字排在一起看：积分器（怎么把时间推下去）、接触（怎么发现两个物体碰上了）、 约束求解（怎么把它们纠回来）、软体（怎么把"必须"放松成"尽量"）、关节（怎么把两个会转的刚体绑在一起）。 五课的求解器其实是同一条式子在不同约束上的重复： 算出这条约束的"有效质量"（1/m 加上转动项、再按质量倒数分配），乘上"违反了多少"，一正一负地打回去。 接触、绳、关节、限位、motor 的差别只有两处：约束是关于什么量的（距离？角度？角速度？）， 以及有效质量里有没有转动项。
如果只记一句话：物理引擎里没有"碰撞""绳子""关节"这些不同的东西，只有一堆约束与一个求解器； 那些名字是给美术与策划用的。本课题到此收口；附录里留了三样下一层的东西：子步与 warm starting、摩擦锥、以及关节的软约束与电机模型。