弹簧骨：头发为什么会自己摇

全课骨架：动画 = 每一帧先把骨架的姿态算出来，再把顶点按权重「挂」到骨头上。「读姿态」那一半是第 1 课的蒙皮；「写姿态」有两种做法 —— 第 2 课是反解（IK：给定目标，解出角度），这一课是另一种，也是更省事的那一种：不求解，直接让骨头自己变成一根弹簧。头发、尾巴、挂坠、耳朵、披风全都归它管，而它的全部代码只有四行。保真度：真机可证（画面与读数都由本页自己的 SpringBone 解算器给出；对照物是"位移比 = 1−drag"与"下垂角 tanθ = g·h²/(stiff·L)"两条闭式，读者能拿笔复核）。算法按 VRM SpringBone 规范的四步（惯性 → 外力 → 刚度 → 长度约束）逐行落地。

刚度 stiffness 阻尼 drag 节数锚点速度骨长 L

（脚本启动中…）

定点观察：先点「复位（静止）」，把「节数」设为 1，然后把「刚度 stiffness」从 0.3 拉小到 0.01 → 看那根骨头垂下去多少，以及表② 的「实测下垂角」与「闭式」两列 → 下垂角恰好满足 tanθ = g·h² / (stiff·L)：把刚度调到 1/4，下垂角就增大到约 4 倍。这不是"调参手感"，是一条能拿笔算出来的平衡式。

本帧的读数

（脚本启动中…）

3.1 段 · 让它跟不上：Verlet 的"速度"藏在两个位置里

本段只增加一样东西：惯性（用上一帧的位置当速度）（画面里是一根骨头；其余控件与本课各段一致）。保真度：真机可证。上一课的 IK 是"立刻到位"，可头发不能立刻到位 —— 它要滞后。弹簧骨最省事的地方就在这里：它不存速度，速度就是"这一帧的位置减上一帧的位置"。于是一行就能写出"带着惯性往前漂、每帧衰减一点"。

定点观察：把「刚度」设为 0.01（≈ 关掉）、「节数」1，然后点「摇一摇」，再把「阻尼 drag」从 0 拉到 0.9 → 看骨头甩出去后"刹住"的快慢，以及表① 的「位移比」一列 → 相邻两帧的位移之比恰好等于 1 − drag（drag = 0.2 时 0.800，drag = 0.6 时 0.400）：因为 Verlet 把"速度"存在两个位置之间，阻尼就是每帧把这个差值乘上一个固定系数 —— 所以它是一支几何级数，而不是"感觉好像慢下来了"。

表① 惯性一步的位移比：drag 与"相邻两帧位移之比"（L = 0.30、刚度 0、重力 0、长度约束关，只看惯性）
drag	1 − drag（闭式）	实测位移比（第 2/1 帧）	实测位移比（第 6/5 帧）	差

算式：把"上一帧的速度"记作 v = cur − prev。惯性那一步做的是 next = cur + v·(1 − drag)，于是下一帧的速度 = v·(1 − drag) —— 位移逐帧按固定比例缩，是一条几何级数，公比就是 1 − drag。拿 drag = 0.2 验算：1 − 0.2 = 0.800；表① 的「实测位移比」两列都应当是这个数（差 0）。
这一条把"阻尼"从一个手感参数变成了一个可算的量：想让头发在一秒内基本停住，就该让 (1 − drag)⁶⁰ 足够小 —— drag = 0.2 时 (0.8)⁶⁰ ≈ 1.5e−6，也就是一秒后速度只剩百万分之一。

3.2 段 · 把它拉回来：重力与刚度的平衡

本段只增加一样东西：刚度（把末端往"静止位"回拉）（其余控件一致）。保真度：真机可证。3.1 里骨头会一直漂下去 —— 惯性会累积，它不会自己"垂下来"。刚度那一步就是每帧把末端朝静止位（骨长方向上、跟着锚点走的那个点）拉回一点。于是"重力往下拽"与"刚度往回拉"形成一个可以解出来的平衡，这就是头发的下垂角。

定点观察：点「复位（静止）」，把「刚度 stiffness」从 0.3 一路拉到 0.01 → 看那根骨头垂下去的角度，以及表② 的「实测下垂角 / 闭式 / 差」三列 → 实测与闭式逐位相同，而且刚度减半、tanθ 大约翻倍（注意是 tanθ，不是角度本身）：因为平衡式里出现的是 tanθ 与 stiffness 的乘积关系 —— 所以这个旋钮的正确用法是"按 1/stiff 去想"，而不是"调大一点、调小一点"。

表② 重力与刚度的平衡：稳态下垂角对闭式 tanθ = g·h²/(stiff·L)（单节、L = 0.30、drag = 0.2、跑满 6 s 取稳态）
stiffness	g·h²/(stiff·L)	闭式 θ (°)	实测 θ (°)	差 (°)

算式（本课的中心结论）：稳态时末端停在"重力与刚度切向分量相等"的位置。把骨向记作 u、它的垂线记作 t，则 刚度的切向分量 = stiff·L·sinθ（偏离静止位的角度 θ），而重力的切向分量 = g·h²·cosθ。令两者相等得 tanθ = g·h²/(stiff·L) —— 但这条是近似式：实测发现它系统性地偏大，比值恰为 1−stiff（stiff = 0.2 时实测/近似 = 0.800）。把"刚度那一步是施加在已经含重力的那个位置上"这件事算进去，精确解是 tanθ = g·h²·(1−stiff)/(stiff·L)。拿 L = 0.30、stiff = 0.05 验算：g·h² = 9.81/60² = 0.002725， tanθ = 0.002725×0.95/(0.05×0.30) = 0.17258 ⇒ θ = 9.7918° —— 表② 那一行逐位对上（差 1e−15）。
★ 这条修正就是"先量后写"换来的：近似式读起来完全合理（切向平衡），但它漏了"顺序"这一层；表格一跑，四档的比值都恰好是 1−stiff，修正项当场就现形了。
注意这里为什么会有下垂角：静止位是水平朝右（建模时的姿态），重力竖直向下，两者不共线。如果静止位本身就朝下（比如一根垂直的长发），重力与骨向共线、切向分量为 0 —— 那根头发会笔直垂着不动，这正好解释了"为什么贴着头皮的长发几乎不摇，而翘起来的呆毛摇得很欢"。

3.3 段 · 骨长不能变：长度约束

本段只增加一样东西：长度约束（把"回拉"之后的位置强行拉到骨长上；可开关，其余控件一致）。保真度：真机可证。3.2 的回拉是"每帧朝静止位挪一点"，它会顺手把骨头拉长或压短 —— 而骨头在动画里是刚体，长度必须是个常数。所以四步里的最后一步是： 从锚点出发，把方向保留、长度改成 L。这一步同时把"重力与惯性的位移"转化成"角度"。

定点观察：把「节数」拉到 6，点「3.4 串成一条」，然后来回点「3.3 关掉长度约束」与其再点一次 → 看整条链的总长、以及表③ 的「每节长度」两列 → 开着归一化时每节长度恒等于 L（差 0）；关掉之后每节长度都不等于 L，而且越靠末端偏离越大：因为回拉那一步是"朝静止位挪 stiff 比例"，它同时改了方向和长度 —— 关节越多，误差越有地方累积。

表③ 长度约束：每节长度对骨长 L（4 节、L = 0.30、stiff = 0.05、drag = 0.2、跑满 4 s）
配置	第 1 节 (m)	第 2 节 (m)	第 3 节 (m)	第 4 节 (m)	最大 \|长度 − L\| (m)

算式：长度约束那一步是 next = anchor + (next − anchor)/|next − anchor| · L —— 它是"只改长度、不改方向"的投影，所以执行之后长度必然恰好是 L（实测差 0，是浮点意义的 0）。关掉它则每帧都留下一点误差，而且这个误差会逐节累积（表③ 的最后一列就是它累积到什么程度）。
这一步是弹簧骨和"软体"的分界线：允许长度变，得到的是绳子（第 5 课的 PBD）；不许长度变，得到的是骨头 —— 同样四行代码，去掉这一步就换了东西。

3.4 段 · 串成一条：每节都挂着它下面那一串

本段只增加一样东西：节数（1 → 6；其余控件一致）。保真度：真机可证。前三段都只有一节。真实的头发、尾巴、披风是一串：每一节的"锚点"是上一节的末端 —— 于是惯性与重力会顺着链往下传，越靠末端越晚、越弯。

定点观察：点「3.4 串成一条」（6 节），再把「锚点速度」从 0 拉到 2.4 → 看整条链被拖着走的样子，以及表④「各节下垂角」与「末端滞后」两列 → 静止时各节下垂角依次变大（越靠末端越垂）；拖起来之后整条链向后拖出一个稳定的滞后，且速度越大滞后越大：这四行代码没有一行在写"头发应该怎么动"，可它自己长出了"甩、拖、停住又荡回来"的所有细节 —— 这就是程序化次级动画的全部魅力，也是它难以调参的原因。

表④ 串成一条：下弯顺着链累加（L = 0.30、stiff = 0.05、drag = 0.2、跑满 10 s 取稳态；局部角闭式 9.792°）
节数 n	第 1 节 θ (°)	末节 θ (°)	末节 / (n × 局部角)	末端竖直下落 (m)

算式（级联从哪来）：单节的平衡是 tanθ = g·h²·(1−stiff)/(stiff·L) = 9.7918°（局部角，相对父节的朝向）。串起来之后每一节的静止方向是上一节现在的朝向 —— 于是第 i 节的绝对角是前面所有局部角之和，塌得越靠末端越明显。表④ 的「末节 θ」就是"垂到底"的程度：n = 1 / 2 / 3 / 4 / 6 时实测 9.79 / 19.17 / 27.94 / 35.97 / 49.62°。
但它不是简单相加：最后一列「末节 / (n × 局部角)」从 1.0000 一路降到 0.8446 —— 因为重力对某一段的切向分量是 g·h²·cosθ，这一节越接近竖直，切向驱动越小、局部增量也越小（实测各段增量 9.79 → 9.38 → 8.77 → 8.03 → …，比值与该段中点的 cosθ 同量级）。所以"头发越长发尾越贴着背"这件事，是余弦项自然饱和的结果，不需要额外加什么。
本页如实说明一处限制：四行代码只做"一遍自根向梢"，链一长、速度一大时末端会甩过头 （表现出来的是抖动而不是滞后）。真引擎靠子步 + 每帧多迭代几遍压住它 —— 本页在附录 A3 里点名，不在这里展开。

课末：三种"写姿态"的对比

把这一课和上一课并起来看：「写姿态」的两种做法在这里彻底分道扬镳 —— IK 是"解"（给定末端目标，解出角度；有唯一解族、有可达性、有迭代收敛）； 弹簧骨是"演"（给四行规则，让姿态自己长出来；没有目标、没有解、只有稳定态）。
它们的适用面正好互补：脚要踩住地面、手要扶住栏杆 —— 那些位置是硬要求，用 IK； 头发、尾巴、挂坠 —— 那些只要"看起来对"，用弹簧骨。真实角色一般两者都用：腿用 IK 踩地面（动画师给目标），头发用弹簧骨（程序自己算）。
如果只记一句话：弹簧骨没有"目标"这个概念 —— 它只有"上一帧"与"四行规则"，而运动是它们的副产品。 本课题到此收口（蒙皮 → IK → 弹簧骨）；附录里留了三样下一层的：子步与迭代、碰撞与限位、以及"布料 vs 骨头"的分界。