软体：把「必须正好」换成「尽量靠近」，绳子为什么就软了
全课骨架：物理模拟每一帧只做三件事 —— ① 对每个物体积分；② 找出接触（谁压着谁、压多深）；③ 解约束（按质量分配地纠回来）。 第 3 课讲的是硬约束：接触必须被满足，穿进去就推出来。可绳子、布料、头发不是"撞到了"——它们从来没被要求正好是某个长度， 只是"尽量靠近"。本课是骨架 ① 与 ③ 的组合：把约束放松一点，软体就出来了。 保真度：真机可证（画面与读数都由本页自己的解算器给出；对照物是闭式静平衡与稳定性判据，读者能拿笔复核）。
本页的原理与数值表照常可读（画面只是把同一个数画出来）。
（脚本启动中…）
定点观察：切到「4.1 弹簧力」，把「弹簧刚度 k」从 1000 往右推，直到越过状态行里那条稳定线 3600 → 看左边那条链 → 越线不等于立刻爆：k = 4000 时链会停在一个"伸长 1.8 m 的错误振荡"上（正确值是 0.039 m），再往右到 10000 才是真指数发散（画面会打出面板并自动重置）。切到 4.2 以后，同样把 k_s 推到底，链只会更硬、不会失控。
本帧的读数
（脚本启动中…）
4.1 段 · 先用弹簧把它连起来
本段只增加一样东西：弹簧刚度 k（只有显式弹簧力，PBD/XPBD 都关掉；其余控件与本课各段一致）。 保真度：真机可证。第 3 课的接触是"硬"的 —— 压进去就推出来，没有商量余地。绳子不是这样： 它只是不想被拉长，拉长了就给一份回拉力，公式是最朴素的那个 F = k·(d − L₀)。本段把这条链交给它。
| k (N/m) | 临界步长 √(m/k) (s) | 阶段 | 末步伸长 (m) | 末步 \|v\| 峰值 (m/s) | 算式 mg·N(N−1)/2k |
|---|
算式（稳定性）：单根弹簧的角频率 ω = √(k/m)，半隐式欧拉对它的稳定条件是 h·ω < 2，即 k < 4m/h² = 14400。
但一根链上最高的那个模态是略小于 2√(k/m)（相邻两颗粒子反相跳动），于是门槛收到 k ≈ m/h² = 3600 附近，
等价地步长必须小于 √(m/k)。实测（N = 6）的翻转点在这条近似线的右侧一点：3800 仍在稳定侧、4000 已失控
—— 因为 N = 6 的链最高模态还没到 2√(k/m)（模态与链长有关），所以精确门槛比 m/h² 略高。近似线写在这里，判读者对错靠实测。
算式（静平衡）：第 0 颗锚定 ⇒ 自由粒子 N−1 颗、弹簧 N−1 根；第 s 根承担它下面 N−s 颗的重力，
于是总伸长 = Σ j·mg/k = mg·N(N−1)/(2k)。拿 N = 6、k = 1000 验算：1×9.81×30/(2×1000) = 0.1472 m —— 表① 那一格应当对上。
"越线"不是一件事，是三件事（这是本页实测纠正过来的一处口径，原来写成"超过就炸"）：
① 稳定侧停在正确的静平衡上（3800 的伸长 0.0397 贴着算式 0.0387，差 3%）；
② 刚越线（k = 4000）不会爆，而是停在一个错误的极限环上 —— 伸长在 0.78~1.83 m 之间摆，而算式只要 0.0368 m，
差 20~50 倍，而且阻尼把它限住了、不会自己变大；
③ 再往右（k ≥ 4500）才是真发散 —— k = 10000 时 0.5 s 就到 5.5e21。
所以画面上的守卫把 ② 也算作失控（见画面里的面板）：它虽然有限，但已经完全不是这根绳子的解了。
这条式子长得和 4.4 段一模一样（到那里把 1/k 写成 α 就是了）。
4.2 段 · 不推力，直接改位置
本段只增加一样东西：改用 PBD 的位置投影（刚度换成 k_s，其余控件一致）。 保真度：真机可证。4.1 的麻烦是双重的：要挑 k，还要一直盯着 h·ω < 2 —— 想更硬就得更小心， 而"更硬"恰恰是布料最想要的东西。PBD 换了个问法：别算力了，直接问"这两个点现在差了多少，把它挪回去"。 挪多少由 k_s 控制（1 = 一步到位，0.5 = 只纠一半），而挪的比例还是按质量倒数分配 —— 和第 3 课同一套。
| k_s | 总伸长 (m) | 链长 ÷ 原长 (N·L₀ = 0.60 m) | 备注 |
|---|
算式：PBD 的伸长没有闭式解（它是每步投影之后的残差），但有一个能拿笔验的端点： k_s → 0 时完全不受约束（表② 最后一行，链会一直往下坠、伸长随时间增长）。 而 k_s = 1 那一行实测是 2.7 cm，不是 0 —— 因为一遍扫描是逐条处理的（Gauss-Seidel）： 修好第 i 条约束会把第 i−1 条重新推歪，于是每帧重力新造出来的那点长度差，一遍扫不干净。 这和第 3 课表④的迭代问题是同一件事，只是那里的对象是穿透、这里是伸长。 记下这个 2.7 cm —— 4.3 与 4.4 都要用到它（它是一遍扫描的"残差地板"）。
4.3 段 · 子步在换什么
本段只增加一样东西：子步数 n_s（k_s 冻回 0.5，其余控件一致）。 保真度：真机可证。4.2 的 k_s 是个 0~1 的数，可它到底是"多软"？它自己说了不算 —— 每步只纠 k_s 份，而"一步"有多长是由步长定的。想把结果调硬，有两条路：调大 k_s，或者把一步拆成 n_s 个更小的步。 本段只动后者，看这两条路是不是同一回事。
| 子步数 n_s | 总伸长 (m) | 等效单遍刚度 1−(1−k_s)^n | 用该刚度单遍跑出的伸长 (m) | 两者之比 |
|---|
算式：单根约束被投影 n 次、每次留 k_s 的残差，剩下的误差是 (1−k_s)^n，所以"等效一次投影" 应当等价于刚度 1 − (1−k_s)^n（k_s = 0.5、n = 2 ⇒ 0.75；n = 4 ⇒ 0.9375）。 表③ 的第 4 列就是把那个等效刚度拿去单遍跑一遍的结果 —— 如果两条路真的一样，它应当与第 2 列相等。 实测并不相等（比值见最后一列），因为子步同时把"每步的下沉量"按 1/n_s 缩小了，而 k_s 没有。 这条差异正是 4.4 段要消灭的东西。
4.4 段 · 想说多硬，就直接说多硬
本段只增加一样东西：把 k_s 换成柔度 α = 1/k（其余控件一致）。 保真度：真机可证。4.3 的结论很别扭：k_s 是"每步纠多少"，含义跟着步长跑 —— 美术说"这根绳子柔度 1e-4"， 程序却得先问"你每秒跑几帧"。XPBD 把这件事扳回来了：直接用柔度 α = 1/k（单位 m/N，和 4.1 的 k 互为倒数）， 在投影式子里带上 α̃ = α / h_s² —— 于是 h_s 变了，α̃ 自动补偿。
| α = 1/k (m/N) | 算式 mg·N(N−1)/2·α (m) | 实测 n_s = 1 (m) | 实测 n_s = 4 (m) | 实测 n_s = 8 (m) | n_s = 8 ÷ 算式 |
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算式：静平衡下第 s 根弹簧承担它下面 N−s 颗的重力 ⇒ 它的伸长是 (N−s)·mg·α，
Σ 起来就是 总伸长 = mg·N(N−1)/2·α（和 4.1 那条同形，因为 α 就是 1/k）。
本段的看点是第 3、4、5 列：三档子步数给出的是同一个数 —— 最后一列的比值实测 0.990 / 1.000 / 1.004 / 1.002，
也就是说 α 换了子步（等价于换了步长）也照样兑现。这正是 k_s 做不到的事：
表③ 里同样的"换子步"，结果差了 18 倍；这里只差 0.4%。
唯一还有残差的是 n_s = 1 那一列里 α 最小的两行（0.0176 / 0.0069，对着算式 0.0147 / 0.0015）——
那是表② 里那个"一遍扫描的地板"（约 2.7 cm 量级）盖过了柔度本身；子步一多就消失（n_s = 4 起就贴着算式）。
所以准确的说法是：α 定的是目标值，子步只决定你离它多近。
课末：第二视角 —— 一条链横竖各来一遍，就是布
本页左边那条链是一维的：只连相邻两颗，为的是每个数都能拿笔算。右边那块布用的是同一个解算器， 只是把同一件事在网格上做了两遍 —— 横着连一遍（每行的邻居）、竖着连一遍（每列的邻居）， 约束条数从 N−1 变成约 2N（8×6 的网格是 82 条），解算器一行都不用改。 所以"布料是怎么出来的"这个问题，答案不是另写一个布料求解器，而是把"必须正好"放松成"尽量靠近"，然后在网格上多连几遍。 下一课把镜头挪到关节与骨骼：点约束、铰约束、motor —— 以及 ragdoll 为什么会抖成面条。