蒙皮：一个顶点为什么会被两根骨头同时拉着
全课骨架：动画 = 每一帧先把骨架的姿态算出来，再把网格顶点按权重「挂」到骨头上。
这一课讲骨架那半边的第一步 —— 顶点怎么跟着骨头动。它看起来只是"乘个矩阵"，
但里面藏着一个非常容易做错的地方（绑定时的那一乘），而做错的表现是"角色不动的时候网格就跑位了"。
保真度：真机可证（画面与读数都由本页自己的蒙皮管线给出；对照物是 FK 闭式解与 glTF 2.0 规范里的 jointMatrix 定义，读者能拿笔复核）。
这台设备拿不到 canvas 2D 上下文，活例跑不了。
本页的原理与数值表照常可读（画面只是把同一个数画出来）。
（脚本启动中…）
定点观察：先点「回到绑定姿态（复位）」把两个角都归零，然后点「1.2 变体：不含 inverseBind」→ 看网格与骨头的相对位置 → 在绑定姿态下网格就已经跑位了（下探多少见表②）：这就是"少了 inverseBind"的唯一症状。
本帧的读数
（脚本启动中…）
1.1 段 · 先让骨头动起来：FK 就是矩阵连乘
本段只增加一样东西：骨骼的世界变换（画面上只有骨架，没有网格；其余控件与本课各段一致）。
保真度：真机可证。网格是一堆静态顶点，想让它动，得先让"骨头"动起来。一根骨头在父骨上的局部姿态（转角 + 偏移），
乘上父骨的世界变换，就是它自己的世界变换 —— 这就是 FK（正向运动学），全部内容就是矩阵连乘。
定点观察：把「前臂角 θ₁」从 0 拉到 −150°，同时把「上臂角 θ₀」也动一动 →
看画面里那一节前臂是不是始终接在上臂的末端上，以及表① 的「实测末端」两列 →
末端坐标恰好等于那条闭式（误差 1e−16 量级）：FK 之所以"没有难点"，是因为它只是把局部变换按父子顺序乘起来 ——
而这份顺序正是后面所有内容的基础。
表① FK 正解：末端世界坐标对闭式解（L₁ = L₂ = 0.9 m、根骨原点在 (0,0)）
| θ₀ (°) | θ₁ (°) | 实测末端 x (m) | 闭式 x | 实测末端 y (m) | 闭式 y |
|---|
算式：前臂的世界转角是 θ₀ + θ₁（因为它挂在转过的上臂上），所以末端位置
x = L₁cosθ₀ + L₂cos(θ₀+θ₁)、y = L₁sinθ₀ + L₂sin(θ₀+θ₁)。拿 θ₀ = −90°、θ₁ = 0 验算：
x = 0.9×0 + 0.9×0 = 0，y = 0.9×(−1) + 0.9×(−1) = −1.8 —— 表① 那一行应当逐位对上（差 0）。
本段真正要看的不是这条式子，而是"连乘的顺序"：局部变换是"相对父骨"的，所以必须是
父的世界 ∘ 自己的局部，反过来就是把旋转加到了错误的那一支上。
1.2 段 · 把顶点挂上去：那一乘 inverseBind
本段只增加一样东西：jointMatrix（网格出现；是否乘 inverseBind 由按钮切；其余控件一致）。
保真度：真机可证。骨头会动了，可顶点是在建模时的姿态下摆放的（那道姿态叫 bind pose / 绑定姿态）。
如果直接把顶点乘上"骨头现在的世界变换"，那么连绑定姿态本身都会被算进去 ——
于是角色一动不动的时候，网格就已经移位了。正确的写法（glTF 2.0 规范原文）是：
jointMatrix = 骨头现在的世界变换 × 绑定姿态下该骨头世界变换的逆。
定点观察：点「回到绑定姿态（复位）」把两个角归零，然后来回点「1.2 蒙皮」与「1.2 变体：不含 inverseBind」 →
看网格相对骨头的位置，以及表② 的「顶点最大位移」一列 →
含 inverseBind 时位移恰好是 0；不含时整条前臂的网格被平移到了别处：
因为绑定姿态里那根骨头本来就有平移（L₁ = 0.9 m），少了它的逆，这一乘就被算了两遍。
表② inverseBind 的作用：绑定姿态下顶点的位移（θ₀ = θ₁ = 0，网格 28×2 个顶点、L₁ = L₂ = 0.9 m）
| 写法 | 顶点最大位移 (m) | 前臂段顶点平均位移 (m) | jointMatrix[1] 的平移 |
|---|
算式：jointMatrix = world × inv(bind)（glTF 2.0 规范对 Skins 的定义）。在绑定姿态下
world ≡ bind ⇒ jointMatrix ≡ world × inv(world) = 单位变换 ⇒ 顶点一动不动。
拿前臂验算：它的绑定姿态世界变换是"平移 (0.9, 0)"，所以 少了 inverseBind 那一乘时，前臂上的顶点会整体被平移 0.9 m，
后一段还要再叠上它自己的旋转 —— 表② 最后一列就是那个没被抵消掉的平移。
这条"绑定姿态下必须零位移"是蒙皮管线的第一条硬判据，本页把它写进了自检（见页面末尾的 `__selftest`）。
1.3 段 · 一根骨头不够：权重混合
本段只增加一样东西：每个顶点的权重（权重由按钮切出"硬"与"软"两档；其余控件一致）。
保真度：真机可证。1.2 里每个顶点只挂一根骨头，于是关节处会出现一条折线：
关节左边的顶点跟着上臂、右边的跟着前臂，中间的接缝被硬生生拉开。
真实的蒙皮是每个顶点同时挂几根骨头，各自算一遍再按权重加权求和（glTF 规定每顶点最多 4 根，
权重的和 = 1）。
定点观察：把「权重带宽」从 0.02 拉到 0.5，再把「前臂角 θ₁」拉到 −90° →
看关节附近那几个顶点被"拉"开的速度，以及表③ 的「实测 x′」 →
带宽越小，关节处的过渡越窄、折角越硬；w = 0.5 的那一点恰好落在两个结果的中点：
权重不是"哪个更重"，而是两根骨头的变换各出多少力，所以它必须满足"和 = 1"。
表③ 权重混合：关节附近顶点的位置（θ₀ = 0、θ₁ = −90°、顶点 y = 0.18 m、L₁ = 0.9 m）
| 顶点 x (m) | w₀ | 只跟上臂 (m) | 只跟前臂 (m) | 实测混合后 x′ (m) | 0.5 中点
只有 w₀=0.5 那行相等 |
|---|
算式：p′ = Σᵢ wᵢ · (jointMatrixᵢ · p)，且Σᵢ wᵢ = 1。当 w₀ = w₁ = 0.5 时，
p′ 恰好是"只跟上臂"与"只跟前臂"两个结果的中点 —— 拿 x = 0.90 那一行验算：(0.900000 + 1.080000) ÷ 2 = 0.990000，与实测逐位相同。其余四行不是中点（它们按自己的权重加权），所以最后一列只在 w₀ = 0.5 那一行成立 —— 这也是"权重不是平均数、而是各出多少力"的直接证据。
权重带宽决定"过渡有多软"：带宽 → 0 就退化成 1.2 的硬绑定（关节处一条折线），
带宽越大越平滑、但"跟着哪根骨头"的归属也越模糊 —— 这是所有蒙皮资产都要调的那个旋钮。
1.4 段 · 线性混合的代价：关节会掉体积
本段只增加一样东西：弯曲角（前臂角 θ₁ 从 0 拧到 −150°，其余控件一致）。
保真度：真机可证。1.3 的中点是"按权重求平均"—— 而平均两个不同朝向的刚体变换，得到的一般不再是刚体变换。
后果很具体：关节附近的顶点会被往关节里吸，弯得越狠越明显，这就是线性混合蒙皮（LBS）最著名的缺陷 ——
肘部"塌陷"、肩膀"糖纸拧紧"。它是可以用一条式子算出来的。
定点观察：把「前臂角 θ₁」从 0 一路拧到 −150° →
看关节附近那一圈网格是不是越弯越"瘪"，以及表④「实测半径 ÷ d」一列 →
半径按 d·cos(θ/2) 收缩：弯 90° 就只剩 70.7%（掉 29%），弯 150° 只剩 25.9%：
这不是"调参没调好"，而是把两个不同朝向的刚体变换按权重相加这件事本身的代价 ——
要治它就得换更贵的表示（双四元数、或加辅助骨），本页如实标出这一点、不做假动画。
表④ 线性混合的代价：关节处顶点的半径随弯曲角收缩（w = [0.5, 0.5]、顶点垂直偏移 d = 0.18 m、θ₀ = 0）
| 弯曲角 θ (°) | 实测半径 (m) | 算式 d·cos(θ/2) (m) | 实测 ÷ d | 算式 ÷ d |
|---|
算式：关节处顶点取 p = (L₁, d)、权重各 0.5。把两个刚体变换的结果按 0.5 相加，化简后
它到关节的距离恰好等于 d·cos(θ/2) —— 与骨长无关、只与垂直偏移 d 和弯曲角 θ 有关。
拿 θ = 90° 验算：cos45° = 0.70711 ⇒ 半径 = 0.18 × 0.70711 = 0.12728 m —— 表④ 那一行应当对上。
θ → 180° 时半径 → 0：关节彻底被吸成一个点。这就是 LBS 的"塌陷/糖纸拧紧"，
它也是"为什么后来的引擎要用双四元数蒙皮或辅助骨"的直接理由（附录 A1）。
课末：读完姿态，就该去写姿态了
这一课把骨架那件事的前半段做完了：姿态 → 顶点。四段依次加了四样东西 ——
骨骼的世界变换（FK 连乘）、jointMatrix 里的那一乘 inverseBind、每个顶点的权重、以及弯曲角。
后半段是反过来问：想让手抓到某个点，关节角该是多少？那是 IK（反解），也归骨架这一边。
之后的次级动画（头发、尾巴、挂坠）走的是另一条路：不是"算姿态"，而是让骨头自己变成一根弹簧。
如果只记一句话：蒙皮是"读姿态"的人，IK 与弹簧骨是"写姿态"的人；而绑定姿态（bind pose）是这两半之间的那份合同 —— 少了那份合同（inverseBind），两边就对不上。
下一课讲 IK：给定末端目标点，怎么把关节角反解出来，以及为什么多数引擎用迭代而不是解析解。