视角一换，表面就晃：把立体高斯拍成一张盘

1视角一换，表面就晃：一句话说清这篇在治什么

　视角一换，表面就晃：一句话说清这篇在治什么

训练完一个 3DGS 场景，来回拖视角看，你会发现一件别扭的事：画面本身很干净，可一切到法线图或深度图，那块墙面就开始泛毛边。同一个位置，"表面在哪"这个问题，换个相机角度就能给出不一样的答案。3DGS 把"看起来像"做到了极好，但它始终没把"表面在哪"说死。

这篇要治的就是这件事。

一句话把病根说出来：表面不是一个团，是一张盘。

3DGS 的每个图元是一团各向异性的雾（三维高斯）。雾在三个方向上都摊开，它描述的是"这一点往各个方向看过去会发出什么颜色"：那是辐射，不是表面。一团雾没有正面，所以你没法问它"法线朝哪"；一团雾有厚度，所以同一块表面在不同视角下，"哪一层算表面"的答案会跟着变。这两个毛病是同一个根：图元本身不是面。

2DGS 的办法朴素得有点粗暴：把这团雾在法线方向上压扁，压成一张零厚度的盘。盘有正面，法线就是盘的朝向，可以直接拿去约束；盘贴着表面，视线和它相交只有一个答案，深度就多视角一致。代价是盘只能表示面状的东西，这也正是它后面所有失效场景的来源，第 12 章会逐条算账。

这里值得先说清一件方法论上的事：这篇论文没有在渲染管线上打补丁，而是把图元本身换掉了。 这个选择看起来更"重"，实际更省：三处缺陷里有三处都长在"图元是一团体积"这个根上，补丁只能各自盖住一处。后续所有机制（射线-盘求交、两个正则、深度口径）都是从"图元是盘"这一个决定往后推出来的，所以这篇的阅读顺序也应该是"先看懂盘，再看其他"。

另一件值得先交代的，是它和相邻工作的关系。2DGS 与 SuGaR 都在解决"3DGS 抽不出好网格"，但走法不同：SuGaR 是用三维高斯去近似二维高斯，再额外做一轮网格细化；2DGS 直接就是二维高斯，不做后处理。原文 §2.4 把这个差别写得很清楚，也解释了各自的代价。另外，本篇是「BBSplat 精读」（篇目 07）的直接基座——BBSplat 明说自己是 2DGS 框架里的 drop-in 替换，先读本篇再看那一篇，"平面图元为什么能抽网格"这条线会顺很多。

接下来的路是这样走的。第 2 章先把 3DGS 的底座重推一遍，把三处结构性缺陷点出来；第 3 章换图元，看一张盘需要几个参数、法线从哪冒出来；第 4 章解决渲染的第一道坎：不用仿射近似，直接让射线戳到盘上算交点；第 5 章补上"盘侧过来缩成一条线"时的兜底；第 6、7 章是两个正则，一个管把视线上的盘挤成一摞，一个管让盘面跟深度坡面平齐；第 8 到 11 章是账本，把三张数据集上的查距离、F1、外观、消融逐格复算；第 12 章独立成节，列九个它扛不住的时刻。

读这篇需要的前置不多，但有三样最好先有：知道 3DGS 的图元是三维各向异性高斯、渲染靠分块光栅化与 alpha 合成；知道球谐（SH）用一组系数表示随视角变化的颜色；知道 TSDF 是把多张深度图融成网格的常规手段。三样都不需要推导细节，只要知道它们各自在干什么就行。本篇的重推会从 3DGS 的原始式子（公式 2-1 到 2-3）开始，所以即使没读过 3DGS 原文也能跟上。

读完之后能带走的是三样东西：一套"换图元"的思路（遇到表示能力的瓶颈时，先问是不是图元选错了型）；一个可迁移的手法（把两两成对的 O(N²) 罚项改写成累计量的 O(N) 单趟前向，附录那段等号链可以直接搬到别的渲染器里）；一份诚实的能力边界（第 12 章九条，知道什么时候不该用它）。

这一篇要记的只有一句话：盘有正面、雾没有——表面是一张盘，而不是一团雾。

2立体高斯为什么量不准：三处结构性缺陷

要看清病根，得先把 3DGS 的图元与渲染式子摆出来，只为指出这三个式子里哪一项是病灶，而不必介绍它本身。

3DGS 用三维高斯描述场景，第 k 个图元写成：

这个式子的关键是协方差 Σ 的因式分解：Σ = R S Sᵀ Rᵀ，把"一团的形状"拆成旋转 R（朝哪歪）与尺度 S（三个方向各摊多开）两部分，两者都可学。注意 S 是三维对角矩阵、三个对角元都是正的：三个方向都摊开，这就是"雾"的数学来源。

渲染时先把这团雾从世界坐标送到相机坐标，再做一个局部仿射近似投影到像平面：

W 是 world-to-camera 变换，J 是局部仿射近似的雅可比。然后把 Σ′ 的第三行第三列划掉，得到一张二维协方差的"投影后高斯"。最后按前到后做 alpha 合成：

把 3DGS 的可学量集中摆一遍，后面每章对照着看会方便很多：

这张表里最该记住的是 S 那一行：三个对角元都是正的。这是"雾"的数学定义，也是第 3 章要动的那一刀：把其中一个变成零，雾就成了盘。

还有一处细节顺手说清：公式 2-2 算出 Σ′ 之后，为什么能"划掉第三行第三列"就得到屏幕空间的高斯？因为 Σ′ 是相机坐标系下的协方差，第三维对应深度方向；把深度方向那一维丢掉，剩下 2×2 的块就是它在像平面上的形状。这个操作本身就是一次近似：深度方向的分布被彻底忽略了，而深度恰恰是几何最关心的量。第 4 章换求交方式，动的就是这里。

到这里三处缺陷可以逐个点名了。

缺陷一：体积辐射与"表面是薄的"冲突。 公式 2-1 的高斯在三个方向都有方差，它天生描述一块体积里的密度。可真实表面是零厚度的二维流形；用体积去逼近它，要么在图元内部留一层"半透明的壳"，要么把尺度压到很小然后欠采样。这跟调参没关系，属于表示能力与目标形状不匹配。

缺陷二：没有原生法线。 公式 2-1 里根本没有描述朝向的量。Σ 的特征向量确实隐含了三个主轴方向，但那是密度的分布方向，不是表面法线；要用它当法线，得额外假设"最小方差方向就是法线"，这个假设在薄表面上会退化。所以 3DGS 想做几何约束时，法线只能另学一套（后续工作如 GaussianShader、GS-IR 就是给三维高斯外挂法线属性），多一份参数、多一层误差。

缺陷三：光栅化的交平面随视角变。 这是这篇论文最要紧的一处。3DGS 的做法是"在像素射线与三维高斯的交点处取值"，可是同一个像素在不同视角下，射线与高斯相交的那个平面是不同的。同一块表面，换一台相机，参与求值的那一片体积就换了。multi-view consistency（多视角一致性）在这里断了。

图 2-1 的左右对照，把缺陷三画得很直白。而公式 2-2 里的仿射近似还叠了一层误差：Zwicker 等人在 2004 年就指出，仿射投影只在盘心附近准确，离开中心误差会随着距离增长，即透视保真度不足（原文 §3 结尾、§4.2 开头两处都点了这件事）。

三处缺陷里，缺陷三是可以用"换个求交方式"补救的，缺陷一和缺陷二却指向同一件事：图元的形状选错了。所以这篇论文没有在渲染管线里打补丁，而是把图元本身换掉。

先看一眼不换图元的后果。原文 §3 的"Challenges in Surface Reconstruction"末尾有一句很直接的判断：以上问题常常导致噪声重建（noisy reconstructions），并指到 Figure 5。那张图是这样的：

这层絮从哪来？链条是：没有原生法线 → 深度图带噪 → 用带噪深度做 TSDF 融合 → 噪声被融进网格。第 7 章会拿图 7-1 把这条链的中间环节单独拍出来；第 11 章会用消融证明去掉法线一致性正则后，查距离确实从 0.83 掉到 1.24。

3把立体压成一张盘：2D 高斯怎么参数化

换图元要从参数表开始。一张盘需要几个数？答案是：一个中心、两个切向、两个尺度，外加颜色与不透明度：一共七个可学量，比三维高斯少一个，因为少了一个方向的尺度。

原文 §4.1 的建模逻辑是先定几何、再定取值。几何上，第 k 张盘由中心 p_k、两个主切向量 t_u 与 t_v、以及控制方差的尺度向量 S = (s_u, s_v) 决定。盘上任意一点用局部坐标 (u, v) 参数化，写成世界坐标就是：

这是一个"从盘面坐标到世界坐标"的映射：以中心为原点，沿两个切向各走 s_u u 与 s_v v。写成齐次形式后，矩阵 H 就是全部几何：

H 是 4×4 齐次变换矩阵。这里有两个细节值得停下来看。

第一，第三列是零。 旋转矩阵按 R = [t_u, t_v, t_w] 排三列，尺度矩阵 S 是 3×3 对角矩阵、最后一个对角元为 0。这一列零就是"压扁"这个动作的全部数学内容：盘在 t_w 方向上没有尺度，体积被拍成了零厚度的面。

第二，法线是免费的。 法线就取两个切向的叉乘：t_w = t_u × t_v。因为 t_u、t_v 都可学，法线就自动跟着更新；不需要额外的法线参数，也没有"把最小方差方向当法线"那个退化假设。这是整篇论文最省力也最要紧的一步：盘的朝向由几何定义直接给出，不必另学一套参数。

几何定好之后，盘上的密度取值沿用标准二维高斯（局部坐标下方差为单位阵）：

这张盘在 (u, v) 平面上是一个各向同性的标准钟形；各向异性由公式 3-1 里的 s_u、s_v 承担：先在单位圆盘上取标准高斯，再经 H 拉成椭圆。颜色与不透明度则沿用 3DGS 的做法：每张盘带一个不透明度 α，视相关外观 c 用球谐（SH）参数化。

前面提过"曲面元"（surfel）这条路线：Pfister 等人 2000 年的 Surfels、Yifan 等人 2019 年的可微表面溅射（DSS）。它们也用盘，但前提不一样：那些方法要么需要稠密点云，要么需要真值法线，要么需要已知光照。2DGS 的位置很清楚：只要一张稀疏标定点云和一组带位姿的图像，几何与外观一起从光度监督里学出来。这个差别决定了它能不能用在普通拍摄数据上。

把一张盘的全部可学量与约束列成表：

对照第 2 章那张 3DGS 的表，差别只有一处：S 的第三个对角元从"正数"变成了 0，而法线从"要另学一套参数"变成了"两个切向的叉乘"。前者是表示能力的取舍，后者是白拿的收益。

这里有一个必须回答的疑问：盘的厚度是零，渲染时会不会算出零面积、什么都盖不住？ 不会，原因有两层。第一层是几何上的：盘虽然零厚度，但它在屏幕上投影出来的是一块有面积的椭圆，覆盖多少像素由中心、切向、尺度共同决定，与厚度无关。第二层是实现上的：真正保证"覆盖足够像素"的是第 5 章那个低通兜底（公式 5-1），它给每张盘在屏幕空间垫了一个最小半径，斜视到退化时也不会消失。零厚度损的是"厚度方向的表达力"，不是"渲染的可见性"。

顺带说清一个容易混的点：公式 3-3 里的 G(u) 是"标准"二维高斯，方差是单位阵，看起来每张盘都该是正圆。各向异性在哪？在公式 3-1 的映射里：先在单位圆盘上取标准高斯，再经 H 拉成椭圆，s_u 与 s_v 就是两个轴的长度。先取标准形再变换，这个顺序让求导与求值都更省。

盘定完了，下一个问题立刻出现：渲染时，屏幕上某个像素的视线，打到这张盘的哪一点 (u, v)？这就是第 4 章要解决的求交问题。

4不用仿射近似：射线与盘怎么求交

渲染一张盘有两条路。一条是"把盘投影到屏幕上、再在屏幕上采样"，这条路便宜，但只在盘心附近准；另一条是"让像素的视线直接和盘求交"，这条路准，但要处理数值稳定性。2DGS 选了后者，理由值得完整讲一遍。

先看第一条路错在哪。原文 §4.2 引的是 Zwicker 等人 2001 年的做法：用透视投影的仿射近似把盘投到像平面。问题在 2004 年就被同一批作者指出过：这个投影只在盘心准确，越靠近盘的边缘，近似误差越大。落在几何上就是两件事：一是边缘处的透视畸变（本该收窄的地方没收窄），二是深度不准。原文附录 C 拿它做了对照实验，我们留到第 11 章算账。

另一条路（隐式方法）是把盘的二次曲面投影到屏幕空间，再在屏幕上判别像素是否落在投影椭圆内。听起来更省事，但它需要算逆变换 M = (WH)⁻¹。麻烦在于：当盘正好侧对着相机、在屏幕上退化成一条线段时，这个逆变换会数值失稳。传统表面溅射的做法是设一个阈值把这类病态变换直接丢掉，可在可微渲染里，"丢掉"是个不可导的硬判断——阈值一抖，梯度就断，优化会跟着不稳。

所以 2DGS 绕开求逆，改用一个显式的射线-盘求交（思路来自 Sigg 等人 2006 年为专用硬件设计的做法：三条不平行平面的交点）。整套推导可以分四步走完。

第零步，先明确要解的是什么。 把盘上一点 P(u, v) 送到屏幕空间，用齐次坐标写出来：

这个 x 同时承担两个身份：它代表从相机出发、穿过像素 (x, y) 的那条视线，而它的 z 分量就是这条视线与盘相交处的深度。要解的问题因此可以一句话说清：给定像素 (x, y)，这条视线打在盘上的哪一点 (u, v)。

第一步，把像素写成"两条平面的交线"。 给定像平面上的坐标 x = (x, y)，穿过这个像素的视线可以用两个正交平面来定义：一个平面法向为 (−1, 0, 0)、偏移为 x，另一个法向为 (0, −1, 0)、偏移为 y。写成四维齐次平面就是 h_x = (−1, 0, 0, x)ᵀ 与 h_y = (0, −1, 0, y)ᵀ，视线就是这两个平面的交线。

第二步，把这两个平面送进盘的局部坐标系。 这里用一条齐次坐标的经典性质（Blinn 1977）：对平面上的点做变换 M，等价于对平面参数做反置变换 M⁻ᵀ。原文取 M = (WH)⁻¹，于是 M⁻ᵀ 正好等于 (WH)ᵀ：指数上的 −1 和转置上的 −1 相互抵消，求逆被彻底消掉：

第三步，解交点。 按公式 3-1，盘上的点写作 (u, v, 1, 1)；交点必须同时落在变换后的两个平面上，于是两个点积都为零：

这是两个关于 u、v 的线性方程，直接解就是下面这个闭式解：

这个解的形式眼熟：分母是两条平面法向的叉积，分子是各自平面与目标方向的叉积，就是两条直线求交的标准写法。它保证解出来的 (u, v) 落在盘所在的那个参数平面上，不需要任何判别式或阈值。

其中 h_u^i 表示四维平面 h_u 的第 i 个分量。原文在图注式下方补了一句关键化简：按公式 3-2 的结构，h_u 与 h_v 的第三个分量恒为零（因为 H 的第三列是零），所以分母只涉及第 1、2 个分量，计算量进一步降下来。

拿到 (u, v) 之后，深度与取值就顺下来了：把 (u, v) 代回齐次投影式（公式 4-1）取 z 分量得到交点深度，再代进公式 3-3 得到该处的密度。整条链没有一步需要求逆，也没有一处不可导的阈值判断。

顺手把"为什么非要求逆不可"这件事说透，因为它解释了原文为什么要绕这么大一圈。隐式方法要判"像素是否落在投影椭圆内"，等价于把椭圆的二次型搬到屏幕空间，而搬运的工具正是 (WH)⁻¹。当盘侧对相机、投影退化时，这个矩阵接近奇异（行列式趋零），数值上除以一个极小的数就会炸。传统做法设阈值跳过这类病态情形——可在训练里，"跳过的边界在哪"本身会随参数移动，参数一挪、边界一挪，损失函数就出现了台阶；优化器在台阶附近来回抖，梯度白算。显式求交的价值不在省了几次浮点运算，而在于它把一条不可导的路径换成了解析式。

还有一个值得对照的收益：3DGS 是在"像素射线与三维高斯相交的那个平面"上取值，这个平面随视角变；2DGS 是在盘上取值，盘不随视角变。同一个场景、同一个像素，前者的取值位置会动、后者不会。这就是图 2-1 画的那件事，也是"多视角一致"这四个字的具体所指。

把这一章的符号集中对一遍：

一个容易看漏的收益：因为 (u, v) 是解析解而不是数值迭代，它的梯度可以直接反传回盘的参数（p_k、t_u、t_v、s_u、s_v）。第 6、7 章的两个正则之所以能把盘"推"到正确位置，靠的就是这条可导链。

5侧看退化成一条线：兜底滤波与光栅化

求交式子写完了，还有一个角落没扫：当一张盘几乎侧对着相机时，它在屏幕空间缩成一条线。这条线覆盖的像素极少，甚至一个整像素都盖不满，光栅化时它会被整块漏掉：梯度传不回去，那张盘的参数就再也得不到修正，训练会卡在一个错的姿态上。

原文的解法借的是 Botsch 等人 2005 年的"物体空间低通滤波"：

其中 u(x) 是公式 4-3 解出的局部坐标，c 是盘心 p_k 投影到屏幕上的位置。这个式子在讲两件事。

第一层意思是"下界"。 大括号里第二项是一个固定在屏幕空间的低通核，中心在盘心投影 c、半径 σ。取 max 意味着：无论盘被斜视到多细，屏幕上这个位置至少有一个 σ 半径的高斯在贡献，覆盖的像素数就有保证。原文取 σ = √2/2，理由是让渲染时"用到足够多的像素"。

第二层意思是"为什么是 max 而不是相加"。 如果写成两项相加，等于给每张盘强加了一份额外的能量，远视角下的权重分布会被整体抬高；而 max 只在"低通核比真实值更大"时才生效，也就是只在退化的那类盘上起作用，正常视角下完全不改变行为。这是一个只在需要时才出现的兜底，不是常态上的修改。 顺带的好处是它与主流做法（丢阈值）不同——它是连续的，梯度照样能过。

σ 取 √2 / 2 这个数不是随手写的，代进去看一眼就明白：√2 / 2 ≈ 0.707，而 G((x−c)/σ) 在 |x−c| = σ 处取值 exp(−1/2) ≈ 0.607，在 2σ ≈ 1.41 处降到 exp(−2) ≈ 0.135。换句话说这个下界核的"有效脚印"直径大约 2.8 个像素，足够让任何一张盘至少压住几个像素、参与一次可导的合成，又不会大到把邻近像素染脏。原文的措辞也正是"确保渲染时用到足够多的像素"。

把这一步与 3DGS 的光栅化摆在一起对照，差别只有一处：

表里最后两行"相同"是有意保留的：2DGS 没有重写整条光栅化管线，只换了"求值"这一件事，这也是它能作为 3DGS 框架 drop-in 替换、训练速度仍然接近的原因。

兜底接好之后，渲染循环本身沿用 3DGS 的分块光栅化，只把求值那一项从"投影后的二维高斯"换成公式 5-1 的 Ĝ：

把这一章的顺序写成伪码，前提条件先摆出来：

前提 1：盘已按盘心深度排序（与 3DGS 同）
前提 2：每张盘有屏幕空间包围盒，用于分 tile
前提 3：Ĝ 用公式 5-1，σ = √2/2

for tile in image:
    for x in tile:                      # 逐像素
        C = 0; T = 1                    # 累积颜色、透射率
        for disk in tile.disks_sorted:  # 按深度前到后
            g = G_hat(disk, x)          # 公式 5-1：射线-盘求交 + 低通下界
            w = disk.alpha * g
            C += T * w * disk.color(x)
            T *= (1 - w)
            if T < 1e-4: break          # 不透明度饱和，提前终止
        image[x] = C

这段循环里有三处与本文前述内容对得上：G_hat 内部走的是公式 4-3 的解析求交；T < 1e-4 的提前终止是原文 §4.2 末尾说的"累积不透明度达到饱和即终止"；而排序仍然按盘心深度，这是平面表示的一个便利，盘与盘之间不会互相穿插。

到这里渲染路径就闭环了：图元是盘（第 3 章）、交点是解析解（第 4 章）、退化有兜底（本章）。但只靠光度损失训出来的几何依然是"毛"的（第 2 章图 2-2 已经见过那层絮）。接下来两章是两个正则，专门管几何。

6让一条射线上的盘挤紧：深度失真正则

第一个正则治的病有点反直觉：一批盘在视线上散得很开，和它们贴成一摞，可以给出几乎一样的颜色和深度。

原因是体积渲染的机制。看公式 5-2：颜色是沿视线加权求和，权重是各盘的不透明度；深度也是沿视线加权平均出来的。沿视线摊开的盘只要权重配得合适，加权和照样能对上目标像素，渲染器看不出区别。可表面渲染里不是这样：一条视线打到表面上只交一次，深度只有一个值。体积渲染对"盘之间的距离"这件事完全无感，这就是失真的来源。

原文借 Mip-NeRF360 的思路补上这一维，让视线上的盘互相靠拢：

ω_i 是第 i 个交点的混合权重（α_i Ĝ_i 乘以前面积累的透射率），z_i 是该交点的深度。式子在做的事很直白：任意两个交点之间都拉一根皮筋，把它们的深度差当作罚项。盘散得越开，罚得越狠；贴在同一个深度上，罚项归零。

这里有一个必须点出来的差别。Mip-NeRF360 的失真损失也在算"采样点之间的距离"，但那里的 z_i 是预先设定的采样位置，不参与优化，它只能改变权重分布来间接压紧。2DGS 的 z_i 是求交算出来的交点深度，可反传。所以公式 6-1 的梯度会直接作用到盘的位置上，是"把盘往一起推"，而不是"把权重重新分配"。原文在 §5 里明确写了这一层区别，也在附录 A 里补了一句：隐式方法里的采样点不可微，而这里额外把梯度反传穿过交点 m，从而直接鼓励高斯彼此靠拢。

公式 6-1 有一个直接的实现麻烦：双重求和是 O(N²)，N 是一条视线上交点个数。这个代价具体多大，可以估一下量级：一条视线穿过几十张盘是常态，取 N = 50，两两成对就有 50 × 49 / 2 = 1225 对；而渲染时的像素数是百万量级（800×600 也有 48 万），乘起来就是十亿级的运算次数，而且这些运算发生在每一次前向与每一次反向传播里。一条线上挤着几十张盘的情况在稠密场景里很常见，所以这不是可以忽略的开销。原文附录 A 给了一个可以在单趟前向里算完的改写，这段改写值得逐步推一遍——它是本文把正则落进渲染循环的关键。

先做一次口径说明：附录里把交点深度 z 先做 NDC（归一化设备坐标）变换，记作 m = NDC(z)，近远平面经验取值 0.2 与 1000；同时把 L1 换成 L2。这么做是为了给远处的盘降权：远离相机的盘深度差本来就大，不归一化会把远处的盘压得过狠。于是损失写成：

推导的落点是把"每一对"改写成"累计量"。把平方展开、交换求和次序：

这就是原文式 (17) 的等号链。它把"两两成对"变成了三个累计量随前到后的行进同步累加：走过第 i 张盘时，手上已经有 A_i−1、D_i−1、D²_{i−1}，当场就能算出到这一张为止的失真 L_i，同时更新三个累计量，为下一张准备。复杂度从 O(N²) 降到 O(N)，而梯度的反传则是从后往前扫一遍，同样线性。

原文附录还强调了做这件事的收益：因为 m 本身可微，梯度会穿过 m 回到盘上：这不是"只优化权重"，而是真的把盘挪到一起。

最后把两处口径差异登记清楚，免得读者对不上号：其一，正文式 (13) 写的是 |z_i − z_j|（L1），附录式 (17) 用的是 (m_i − m_j)²（L2）且 m 为 NDC 后的深度；其二，近远平面 0.2 与 1000 是经验取值。这两点都属于"实现口径与正文表述不完全一致"的地方，第 12 章会把它作为一条需登记的事项再列一次。

7让盘的法线对上深度梯度：法线一致性

深度失真把视线上的盘挤成一摞，但挤紧之后还有一个自由度没管：这摞盘整体朝向哪边，渲染器并不在乎。

这句话值得停下来想一下。盘的朝向（也就是它的法线）不直接进入颜色计算：颜色靠的是求交点 (u, v) 处的取值，而盘转一整圈，只要盘面还覆盖那个像素，颜色照样对得上。所以单靠光度损失，盘可以摆出正确的颜色而朝向乱套。朝向一乱，第 9 章要做的 TSDF 融合就跟着乱：融出来的网格在平面上起伏、在边缘处出现凸起。

原文的办法是把盘的朝向和"深度图的坡面"绑在一起。先定义一个参考面：一条视线上的盘可能好几张半透明的，哪张才算表面？原文取的是累积不透明度到 0.5 的那个交点 p_s：半个不透明意味着"走到这里，一半的光被挡掉了"，这个位置当作表面比沿视线取平均更贴合直觉。然后要求所有盘的朝向别跟这个坡面拧着：

n_i 是朝相机那一侧的盘法线，N 是参考面处的表面法线，ω_i 仍是混合权重。整个式子是方向余弦的写法：两个单位向量同向时点积为 1、罚项为 0；垂直时点积为 0、罚项取最大 1。所以这一项在把每张盘的法线往表面法线的方向"掰"。

表面法线 N 从哪来？从深度图的有限差分来。这是整篇里很省的一步，因为深度图是渲染管线本来就有的输出，不需要额外的监督：

∇_x p_s 与 ∇_y p_s 是参考面位置沿像平面两个方向的有限差分，两者叉乘得到垂直方向，归一化后就是法线。注意这里没有用任何真值法线或真值深度：整条约束是被光度与深度自己闭合起来的，这也是它比"外挂一套法线参数"更省的原因。

把两个正则和重建损失合起来，就是训练总目标：

L_c 是 RGB 重建损失（L1 加 D-SSIM 项，沿用 3DGS 的写法），L_d、L_n 是两个正则。权重取值原文给了明确的两档：α = 1000（有界场景）/ 100（无界场景），β = 0.05（所有场景）。有界场景取大、无界场景取小，是因为无界场景的深度分布跨几个数量级，同样强度的深度罚项会把远处的盘压得过狠；而法线项与尺度无关，一套 0.05 就够。

从深度图到网格还差最后一段：深度怎么取。原文给了两个可选口径，附录 B 各写了一个式子。

期望深度（按权重加权平均，再做归一化）：

其中 ω_i = T_i α_i Ĝ_i 是第 i 张盘的贡献，T_i = Π_j<i(1 − α_j Ĝ_j) 是它的可见度。原文特意强调分母要按累积不透明度归一化，否则一张盘在深度可视化里不会显示成一块平的圆盘。

中位深度（走到不透明度过半的那一层）：

原文选了中位深度，理由有两条。一是不透明度的语义更硬：T_i > 0.5 意味着"到这里已经挡掉一半光"，比加权平均更接近"表面在哪"。二是异常情形的处置更稳：当一条视线的累积不透明度压根没到 0.5，动态三维高斯那篇（Luiten 等 2024）的做法是给一个默认值 15，而这里退化为"取最后一张盘"，后者显然更贴近真实深度，也更适合训练。第 11 章的消融表会把这两个口径的差距量出来：中位深度 0.80，换成期望深度是 0.94。

网格提取这步交代一下管线就够了：把训练视角的深度图渲染出来（用公式 7-5），送进截断符号距离融合（TSDF），库用 Open3D，体素大小 0.004、截断阈值 0.02。训练侧的实现细节原文也写得很具体，一并记下：梯度阈值 0.0002、每 3000 步清理一次不透明度低于 0.05 的盘、单卡 RTX 3090。另外有一处适配需要点名——盘没有"投影后的二维中心"的梯度，所以训练时把三维中心 p_k 的梯度投到屏幕空间作近似。

到这里机制部分讲完了：图元是盘、交点是解析解、退化有兜底、几何有两个正则、深度口径选定中位。下面四章全部是账本。

8几何证据一：查距离与 F1

先交代实验设定，因为它决定后面每个数字的口径。数据集三个：DTU（15 个场景，原始 1600×1200，为效率降采样到 800×600）、Tanks and Temples、Mip-NeRF360。初始化统一用 Colmap 的稀疏点云。对照方法的训练过程与 3DGS、SuGaR 保持一致。硬件是单张 RTX 3090。

第一张表量的是网格精度，指标是查距离（Chamfer distance，越小越好），在 DTU 上跑：

数据来源：原文 Table 1（DTU）。逐项读下来有三件事。

其一，显式阵营自己的差距比想象中大。 3DGS 1.96 与 SuGaR 1.33 之间差了 0.63，而 2DGS 直接把这一档压到 0.80，比第二名 SuGaR 好 0.53。其二，它压过的不只是显式方法：0.80 优于 NeuS 的 0.84 与 VolSDF 的 0.86，也就是说一个显式、可实时渲染的表示，在网格精度上超过了当年最强的隐式表面方法。其三，代价是训练集视角的 PSNR 低一档（见下面第三张表），这一点第 10 章单独算。

时间那一列要单独说，因为原文表注写的是"相比 SDF 类基线提供了 100 倍加速"，而这个"100 倍"要复算一下才对得上口径。隐式方法的 12 小时是一个下限（表里写的是 >12h），按下限算：12 小时 = 720 分钟；720 ÷ 5.5 ≈ 131 倍，720 ÷ 10.9 ≈ 66 倍。论文说的"约 100 倍"落在 66 与 131 之间，对应的显然是 15k 迭代那一档。 这不是错误，但读者若拿 30k 的数字去除，会得到 66 倍而不是 100 倍，口径差异先记下。

第二张表换到 Tanks and Temples，指标是 F1（越高越好），六列并排：

数据来源：原文 Table 2（Tanks and Temples）。这张表最值得看的是两栏的对比：在显式方法内部，2DGS 的 0.32 是 3DGS（0.09）的三倍半、SuGaR（0.19）的一倍半，优势很大；可一旦把隐式那三行拉进来，Neuralangelo 的 0.50 仍然稳在上面。原文的措辞是"与 SDF 模型（NeuS、Geo-Neus）取得有竞争力的结果，并显著优于显式重建方法"——注意它点名的对手是 NeuS 与 Geo-Neus（0.38 / 0.35），避开了 Neuralangelo。这个谨慎的措辞本身就是一条边界，第 12 章会再提一次。

第三张表回到 DTU，同时给出网格与存储：

数据来源：原文 Table 3（DTU）。这张表里有两个数字容易被误读，必须标出来。

第一，PSNR 那一列是训练集视角（training-set view），不是测试视角，原文表注写得很清楚。所以 34.52 不该拿去和 Mip-NeRF360 的测试视角数字比，也不该直接说"比 3DGS 低 1.24 就是外观更差"；两者同口径可比的是"同一批训练视角上，2DGS 低 1.24"。第二，存储 52 MB 对 3DGS 的 113 MB 约是 2.2 倍缩减，对 SuGaR 的 1247 MB 是 24 倍；SuGaR 那个数字背后是它的网格与纹理资产，属于另一套表示，跨方法比存储要谨慎。

还有一处细节值得单独算一遍：从 15k 加到 30k 迭代，收益很小而代价翻倍。原文 Table 1 里查距离从 0.83 降到 0.80，只好了 0.03（3.6%）；训练时间从 5.5 分钟涨到 10.9 分钟，接近两倍。原文 Table 3 里 PSNR 从 33.42 涨到 34.52，外观倒是好了 1.10。这说明两档迭代买的是不同的东西：多出来的算力主要补在外观细节上，网格精度在前 15k 就基本收敛了。对使用者来说这是一条实用的结论——只要几何、不在乎外观细节时，15k 档位的性价比高得多。

三张表合起来，几何这一档的结论是清楚的：网格精度全面领先，速度比隐式快两个数量级，存储比显式基线更省。真正要打的折扣在外观与适用面，那两笔账放在第 10、12 章。

9几何证据二：网格长什么样

表格给的是标量，这一章把标量换成看得见的表面：因为"查距离 0.80"这种数字，读者没法判断它对应的是什么样的错误。

先看 DTU 的全部 15 个扫描（scan24 到 scan122）：

图 9-1 与原文 Table 1 的关系值得点一句：那个 0.80 与 1.96 就是这张图的数值化。查距离衡量的是重建表面与真值表面之间的双向距离均值，而"糊一层絮"这件事会同时抬高两个方向的距离：要么多了不该有的面（精度方向），要么缺了该有的面（完整度方向）。所以这张图不是"配图"，它是那两个数字的来源。

具体到"絮"落在哪些结构上，可以按区域分三类看。一是大面积平面：3DGS 的那一排在器物侧面会出现缓慢起伏，像蒙了一层不平的布；这来自深度图上同区域的随机抖动。二是薄壁与细窄凹陷：这类区域只有几个像素宽，深度图上本来就容易取错层，融合后要么糊成一团、要么断开。三是边缘：物体轮廓附近的深度跳变被平滑掉之后，网格边缘会长出细小的毛刺。这三类都是同一个病根的不同表现——深度图不干净，而深度图不干净的源头在第 2 章：图元没有原生法线，几何约束只能靠正则，正则弱的地方就漏。

这也解释了为什么原文要在 §6.2 里花一整段讲"2DGS 对初始化不敏感"。隐式方法（SDF 那一类）需要预先给定一个球形初始化范围来定义重建域，这个范围选不好就重建失败；而这里是辐射场式的几何建模，不依赖这种预定义。换句话说，这一档比的除了精度还有"省心程度"。

再看一个更大的尺度。Tanks and Temples 的场景比 DTU 大得多，也是 2DGS 相对吃力的一档：

把两件事并起来看，会得到一个对读者更诚实的小结。在中尺度、以面状结构为主的场景（DTU 的器物）上，2DGS 是压倒性的：数值 0.80 最优，画面无絮。但在大尺度开放场景（T&T）上，它只是"比同类显式方法好"，并没有拿下全场：0.32 的 F1 仍低于 Neuralangelo 的 0.50。图 9-2 给的五个场景里，Barn 与 Truck 这类以建筑平面与车体为主的场合表现最好（Barn 拿到 0.41，是本文最好的一格），而 MeetingRoom 这类杂物多的室内只有 0.17。原因不难推：大场景里既有大量面状结构，也有大量非面状的东西（树、栅栏、细碎杂物），后一类正是"一张零厚度的盘"最不擅长的形状。第 12 章会把这一类失效具体列出来。

还有一条口径要交代：Mip-NeRF360 没有真值几何，所以那条数据集上只做外观的定量比较，不进几何榜。原文 §6.2 明确写了这一点。这也是为什么第 8 章的两张几何表只出现在 DTU 与 T&T 上：跟论文的取舍无关，只是只有这两条有可比的真值几何。读别人的对比表时养成一个习惯：先看哪些格子是"没有数"而不是"数不好"，两者含义完全不同。

到这里几何的账算完了。下一章换一个方向：几何赢到手之后，外观付了多少。

10外观证据：几何换来了什么、又付出了什么

外观的账在 Mip-NeRF360 上算，因为这条数据集有大量无界户外场景，是外观指标最难的一档。表按户外、室内两栏分开给：

数据来源：原文 Table 4（Mip-NeRF360，基线数值取自各自论文，三行 3DGS/SuGaR/2DGS 用 30k 迭代）。这张表的读法要分开看两栏。

户外栏：2DGS 三项都略输 3DGS。 PSNR 24.34 对 24.64，差 0.30；SSIM 0.717 对 0.731，差 0.014；LPIPS 0.246 对 0.234，差 0.012。差距不大，但方向一致——这不是随机波动，是"把图元压成零厚度"在外观上的系统性代价。道理也不难推：户外场景大量存在非面状结构（树叶、草、栅栏），这些地方三维体积比零厚度平面更能拟合。

室内栏：基本打平。 PSNR 30.40 对 30.41（差 0.01），SSIM 0.916 对 0.920，LPIPS 0.195 对 0.189。室内以墙面、家具这些面状结构为主，正好是盘的舒适区。

把两栏合起来看，能推出一个比"输赢"更有用的判断：2DGS 的外观表现和场景里"面状结构占多少"高度相关。户外场景里树叶、草、灌木这类东西没有明确朝向，一张盘无论怎么摆都只能拟合它的一个切面；而三维高斯是一团体积，反倒能模糊地包住这种杂乱的结构。室内墙面、地板、家具立面都是面状，盘的表达力刚好够用，于是差距被抹平。这条相关性也预告了第 12 章的两条失效：玻璃（面不成立）与高光（面还在、但光度失效）。

还有一条读这类对比表的纪律要说明：原文 Table 4 里除 3DGS／SuGaR／2DGS 三行以外的基线数值，是直接取自各自论文的（原文表注写明 whenever available）。这带来两个后果：其一，不同方法的训练迭代数、分辨率、评测细节可能不一致，跨行比较要留余量；其二，同一条数据集上不同论文报告的 3DGS 数值本身会略有差异。所以"2DGS 输给 3DGS 0.30 个 PSNR"这个结论是稳的（同论文同口径），但"2DGS 比某篇论文里的某方法好 0.1"这种跨来源比较就要谨慎。

同时别漏掉另一个方向：和隐式方法比，2DGS 反而更好。户外 LPIPS 0.246 明显优于 Mip-NeRF360 的 0.283，室内 PSNR 30.40 也高于 31.72 之外的其余隐式方法。所以准确的说法应该是：2DGS 用一点点外观换来了大幅的几何，这点外观损失只让它落到 3DGS 之下，并没有掉出第一梯队；而"2DGS 外观差"这句判断并不成立。

这里要提醒一句读图纪律：图 10-1 是测试集视角的定性图，看着比 3DGS 更锐，但表里的 LPIPS 反而略低——这两件事并不矛盾。LPIPS 是整幅图的感知距离平均，锐利边缘上赢一点、非面状结构上输一些，平均下来就落在后面。定性图的选取本身就是有偏向的。看这类"定性赢、定量小输"的组合时，要以定量方向为准，把定性图当成"差异长什么样"的说明。至于"外观到底崩没崩"，可以看下面前图之后再回头对表——图 10-2 把三个数据集的渲染结果并到一张图里，功能就是回答这个问题。

两张附录表补上另外两个数据集的账，它们说明一件事：外观的胜负是数据集依赖的。

数据来源：原文 Table 8（TnT）与 Table 9（Mip-NeRF360 逐场景）。把这两行并排看会得到一个更细的结论：在 T&T 上 2DGS 的外观反超 3DGS（25.56 对 25.33），在 Mip-NeRF360 上则小输（27.03 对 27.20）。同样是"大场景"，方向相反——所以"2DGS 外观比 3DGS 差"这句话是不成立的，准确说法是"在 Mip-NeRF360 的无界户外场景上差，在 T&T 上反而好"。

还有一张合成数据集的表值得一提（原文附录 D 的 Table 7）：在不加两个正则的情况下，2DGS 在合成 NeRF 数据集上的均值 PSNR 是 33.07，3DGS 是 33.32、Mip-NeRF 33.09、Instant NGP-Base 33.18。也就是说正则是为几何服务的，不是为外观服务的——不加正则外观也就这个水平，加了正则主要改善的是表面质量。这句话是理解第 11 章消融的前提。

11每一块都在起作用：消融与网格提取

消融在 DTU 上做，15k 迭代，指标拆成精度、完整度、平均三项（均为查距离，越小越好）：

数据来源：原文 Table 5（DTU，15k 迭代）。四行对照的信息量不同，逐个看。

A 行是四个里掉得最狠的：平均从 0.83 涨到 1.24，涨了 49%；而且精度（1.35）与完整度（1.13）双双恶化：错误并非"多长一块"或"缺一块"这种单向偏差，而是整片表面都偏了。这印证了第 7 章的判断：朝向乱了，误差是全域的。B 行掉得温和一些（0.88），主要恶化在完整度（0.87 对 0.86 变化不大，但精度从 0.79 到 0.89）——盘在视线上散开，主要伤害的是"表面到底在哪"这个位置精度。C 行是口径选择的影响：换期望深度后精度几乎没变（0.88 对 0.79 其实变差了，但完整度从 0.86 掉到 1.01 更明显），说明期望深度对离群更敏感，融出来的面要么缺失、要么被拉偏。D 行换的是出网格的方式：SPSR（带筛选的泊松重建）只看盘心与法线，用不上不透明度与盘的大小这两个信息，精度掉到 1.25。

这四行合起来支撑一个结论：两个正则与两个实现选择（中位深度、TSDF）都在起作用，其中法线一致性是单项贡献最大的。下面那张图（图 11-1）就是这张表里 A、B 两行的画面版——数字上掉 0.41 与 0.05，画面上对应"朝向乱"与"表面糊"两种不同的坏法。

第二张消融表换了个角度：固定所有别的条件，只换"求交方式"与"出网格方式"的组合，把所有方法都拉到 30k 迭代：

数据来源：原文 Table 6（DTU，全部 30k 迭代）。这张表的价值在于它把改进拆成了可以单独归因的两个旋钮。

旋钮一：求交方式。 看倒数第三行与倒数第二行——同样用 TSDF、同样用期望深度，把仿射近似换成射线-盘求交，平均从 1.08 降到 0.88，好 0.20。旋钮二：深度口径。 看最后两行——同样用本文光栅化与 TSDF，把期望深度换成中位深度，平均从 0.88 降到 0.80，好 0.08。两个旋钮合起来贡献 0.28，剩下的差距来自表示本身就不同（几何是盘而不是三维高斯）。

表里还有一行特别有意思：SuGaR + TSDF 是 2.18，比 SuGaR 原方案的 1.33 差了 0.85。原文附录 C 解释了原因——SuGaR 的深度图是从它那种"扁平高斯相交"里出来的，稀疏且不连续，把这样一张深度图喂进 TSDF，融出来的东西自然差。这说明"TSDF 更好"并不是普适结论，它依赖深度图本身的质量。换个说法：2DGS 的高分里，有一部分是"它的深度图配得上 TSDF"换来的，而这个前提正是第 4 章那套解析求交给的。

把两个旋钮的收益排个序，对以后自己动手很有用：法线一致性（−0.41）＞ 求交方式（−0.20）＞ 深度口径（−0.08）≈ 出网格方式（−0.27，但这是"用错方式"的代价不是"选对方式"的收益）。注意这个排序里有反直觉的地方——"求交方式"这种听起来很底层、很"实现细节"的改动，价值排在深度口径之前，仅次于法线正则。这提醒一件事：看论文里的贡献列表时，不要按"听起来高深"排序，要按消融表里的数字排序。

那还能从哪里再要精度？从表里能看出三条可能的方向。一是法线一致性的权重 β：它单项贡献最大，说明这个约束还没被用尽，调大 β 或设计更强的法线先验可能有空间。二是几何感知的稠密化（原文 Limitations 里自己提了）：现在的稠密化按梯度走，会往纹理丰富区堆图元，改成按几何复杂度分配可能更省更准。三是深度口径之外的信息：现在只用了中位深度一张图，若能把"深度不确定性"也喂进融合，薄壁区域或许能更稳。这三条都是原文留下的话头，不是我的推测。

最后一行是全文最好的一格：0.80。它由四件事叠出来——盘这个表示、解析求交、法线一致性与深度失真正则、中位深度加 TSDF。把四件事里的任何一件换掉，这一格都会变差；这就是第 11 章想说的"每一块都在起作用"。

12边界与反例（独立成节，9 条）

前面十一章讲的都是它能做什么，这一章只讲它做不了什么。九条按"原文自述"与"读表读出来的"分开标注。

1. 半透明表面（原文自述）。 方法假设表面是全不透明的，并且靠多视角深度图做 TSDF 融合。玻璃这类半透明物体，光在里面透射、折射，深度图本身就说不清"表面在哪"，于是重建失败。原文把它放在 Limitations 的第一条，配的是图 12-1 的 (A) 格。

2. 高光区域出现空洞（原文自述）。 高光处亮度饱和，光度监督在那里几乎没有梯度信息，方法会在这些区域"抠"出洞。对应图 12-1 的 (B) 格。

3. 稠密化偏爱纹理丰富区（原文自述）。 现有稠密化策略按梯度信号走，而梯度大的地方通常是纹理丰富处，不是几何复杂处。结果是细几何结构（细铁丝、薄片）分不到足够的图元，表示不准。原文承认这一点，并指出需要一个更好的稠密化策略。

4. 正则是权衡，可能过平滑（原文自述）。 两个正则在"图像质量"与"几何质量"之间做交换，某些区域会被正则压得过平，丢失真实细节。第 10 章那张表里户外 LPIPS 小输，就是这类权衡在指标上的投影。

5. 无界户外场景外观三项全输 3DGS（读表）。 Mip-NeRF360 户外：PSNR 差 0.30、SSIM 差 0.014、LPIPS 差 0.012；9 场景均值 PSNR 27.03 对 27.20。虽然 T&T 上反超（25.56 对 25.33），但"户外不占优"这条边界要写明。

6. 表里的 PSNR 是训练集视角（读表）。 原文 Table 1 与 Table 3 的 PSNR 明确标注为训练集视角，33.42／34.52 不能与测试视角数字混着比。这一条属于口径登记，但极易被误读，所以单独列出来。

7. T&T 的 F1 仍低于 Neuralangelo（读表）。 2DGS 0.32 对 Neuralangelo 0.50；原文自述的对手是 NeuS（0.38）与 Geo-Neus（0.35）。在大尺度开放场景上，"显式方法赢过隐式方法"这句话并不成立。

8. 网格质量依赖出网格的路线（读表）。 换期望深度掉到 0.94、换 SPSR 掉到 1.07、仿射近似掉到 1.08；连别人的表示换成 TSDF 也会掉（SuGaR + TSDF 2.18）。所以"查距离 0.80"是一个特定组合的成绩，不是"用盘就有的成绩"。

9. 失真损失的实现口径与正文表述不一致（口径登记）。 正文式 (13) 是 L1 形式 Σω_iω_j|z_i − z_j|；附录式 (17) 用 NDC 后的深度 m 并改成 L2 形式 Σω_iω_j(m_i − m_j)²，近远平面 0.2 与 1000 为经验取值。复现时按附录实现，引用结论时按正文表述，两者不是同一个式子。

把九条翻成一组"要不要用"的判断，会更实用。该用的场合：需要网格产物（渲染只是顺带）、场景以建筑与器物为主、反射是漫反射或弱镜面、能接受无界户外场景外观略逊 3DGS、并且算力能承受十几分钟到半小时一个场景。别用的场合：场景里有大面积玻璃或水面、有强烈的金属高光、主要由植被与细碎杂物构成（这类场景 3DGS 反而更合适），或者你只在乎照片级的 NVS 而不需要网格（那用 3DGS 或它的抗锯齿变体更划算）。换方法的成本不高——它本来就是 3DGS 框架里的替换件，两边的训练脚本与数据管线可以复用。

顺便说一句这篇论文值得学的地方：它把"能力边界"写得很具体。四条 Limitations 全是可验证的（半透明、高光、稠密化偏好、正则权衡），还各配了图或表；连"对手点谁不点谁"这种措辞上的边界都守着（F1 表里只跟 NeuS、Geo-Neus 比，不跟 Neuralangelo 比）。这种写法比"我们的方法也有一定局限"之类的模板句有用得多，因为它让后来者知道该往哪修。

九条归拢成一句话：这个方法把"面状、不透明、漫反射为主"的场景做到了当前最好，代价是放弃了非面状结构、半透明介质与高光区域。知道这条边在哪，比记住 0.80 这个数字有用。

13贡献块

14原文出处块