换掉高斯核：让网络自己学出泼溅的形状

1换掉一个高斯核，为什么要单独做一篇

先把这枚「印」看清。 泼溅一系的渲染器里，每个基元最终都要在画面上落下一个形状，落墨多少由它决定，这个形状就是泼溅核（splatting kernel）。3DGS 用的那枚印是高斯：把核沿视线累积起来就是渲染。原文第一句就点明，核的形状直接决定重建质量与表示效率［§1, p0］。

它给的那个例子小到不能再小，但把整篇的动机说完了。 想象二维平面上要铺满一个长方形。如果你手里只有高斯，你得摆一堆互相重叠的椭圆去逼近直角边，边角总要含糊；如果你手里有正方形，几个就够了，边界干干净净。原文的判词是：用一组正方形来表示长方形，比用高斯高效得多［§1, p0］。落到泼溅上就是一句话：印的形状选错了，你花的基元数是白花的。

于是有两个问题浮出来，原文把它们并排写成全篇的出发点：

1.1　前人第一条路：手写解析核，形状由式子定死

这一条路占了相关工作的多数。做法是把 3DGS 里的高斯换掉，换成另一种显式定义的体积基元，或者换成某种隐式定义但视角无关的 2D 核（投影之后）［§2.1.1, p1］。

显式那一支里，几个有名字的例子是：广义指数核［Hamdi et al. 2024］、Student's t 核［Zhu et al. 2025］、可变形 Beta 核［Liu et al. 2025b］。它们有一个共同的实惠：泼溅结果有解析公式，所以渲染性能很高［§2.1.1, p1］。

这条路的天花板写在一句话里。 原文说，这些方法的形状变化完全由手写的解析式子决定，因此没法完全以数据驱动的方式去适配输入场景［§2.1.1, p1］。画质与效率一直在涨，但涨的是「同一个式子的参数调得更好了」，不是「式子的形状变多了」。

平面基元那一侧是同样的故事。从 2DGS 起，后人把原来的 2D surfel 换成别的解析 2D 核，Hermite 多项式、Gabor、甚至三角形，结论也一模一样：形状变化由解析式定死，适配不了场景［§2.2.1, p1］。

1.2　前人第二条路：从数据里学，但线积分挡在中间

真正动手从数据里学形状的工作很少，原文点了两篇［§2.1.2, p1］。

第一篇（Held et al. 2025c，下文简称 3DCS）把一个凸形状的顶点当作基元去优化，然后把泼溅要用的线积分简化成一个常数，再在边界附近做软化［§2.1.2, p1］。也就是说，它没有把积分算准，绕过了积分的形状。

第二篇（Zhou et al. 2025，下文简称 SplatNet）直接把神经场当作基元去泼溅。技巧在于他们把基元限制成一种特定的浅层 MLP，这样沿视线的精确积分恰好能写成闭式［§2.1.2, p1］。代价是基元被绑在这一类网络上。

挡在中间的那块石头，原文说得非常直白：对一般的 3D 基元，计算线积分没有闭式方程，而这一步在泼溅里绕不开。所以只能采用「切片（slicing）」近似来躲开昂贵的数值积分［§1, p0］。另一条出路是把基元限制成平面形状，或者限制成某种网络，两条都会把表达力压住［§1, p0］。

原文对这一片现状的总结是一句很克制的话：如何系统性地、以数据驱动的方式去学一般的泼溅核，目前还不清楚［§1, p0–p1］。

1.3　本篇换了一个位置下手

既然坎在「算积分」，本篇的选择是换掉这个问题：既然我们要的是核在画面上的落墨形状，那就别去算积分，直接学积分的结果。原文的措辞是「我们显式地对积分结果建模」［§1, p1］。

具体地说，学的对象是投影之后的 2D 核，而不是 3D 密度分布。原文对这一步的辩护是：这样就避开了在一般 3D 密度场上做线积分这个难题，而且不绑死在任何一种特定类型的网络上［§2.1.2, p1］。

第二处改动是给核加上「视角相关」。 原文发现，前人那些核虽然基元形状是视角相关的（投影会随视角变），但核本身作为马氏距离的函数是视角无关的：拿高斯来说，对照式 (2) 就能看出来［§2.1, p1］。而本篇的核随视角变，这多出了额外的自由度［§2.1, p1］，原文把这件事的可视化放在图 3 里。第 9 章会回到这张图。

收益先给一个总量：在 3D 与 2D 两侧泼溅上，全部基准的全部画质指标都是最好或次好；体积基元还表现出更好的表示效率，以及随基元数增长的可扩展性；同一套思路还搬到平面基元上去学 2D 图像的高效表示［§1, p1］。

这张图可以当成全篇的目录。 (a) 那一栏回答的是「核形状对不对」，第 9 章会用完整版本（图 3-1）讲透；(b)–(f) 里的直方图是本篇独有的证据，同一枚印的 d₁ 在不同视角下不是同一个值，这正是「学出来的视角相关」的可见形式。

2三个预备式子与一句「不碰线积分」的立场

这一章只做一件事：把后面所有式子要用的三个已知式摆好，并说清本篇在链条的哪一环切进去。 原文自己也把这一节定位成「简要描述 3D/2D 高斯泼溅里与我们的核定义最相关的关键项」［§3, p2］。

2.1　式 (1)：从 3D 协方差到 2D 协方差

3DGS 里一个 3D 高斯基元的属性包括均值 μ₃D 与协方差 Σ₃D = R S Sᵀ Rᵀ，其中 S 是缩放矩阵、R 是旋转矩阵。把这个高斯投到图像平面上，用的是 EWA 泼溅的近似［Zwicker et al. 2001］，得到的 2D 协方差矩阵是：

其中 W 是视图变换（viewing transformation），J 是投影仿射近似的雅可比矩阵。投影后的均值记作 μ₂D［§3, p2］。

这三个符号各自管什么，先单独记一遍，因为后面第 3 章的 Φ_proj 就是「把式 (1) 这一步从解析公式换成网络」：

2.2　式 (2)：核只依赖一个标量 r²

投影后的基元在屏幕空间里的形状写成：

其中 x 是像素坐标，r² 是马氏距离的平方。原文随后补了一句关键解释：r² 可以看成「把一个各向异性的高斯分布变换成标准各向同性正态分布」的那次变换，而这次变换只依赖 r²［§3, p2］。

这句话就是本篇要抓的把手。 高斯核的形状只由一个标量 r² 决定，那么把 exp(−½ r²) 换成别的函数，核的形状就变了；而只要这个新函数仍然是只吃 r² 的函数，它就是径向对称的。第 4 章的 Φ_dec 正是这么用的，第 4 章会解释为什么本篇主动要求它径向对称。

2.3　式 (3)：2DGS 的切平面参数化

平面基元那边，2DGS 的基元是一张有朝向的圆盘，投影后的屏空间形状写成：

这里的 (u, v) 是「对应像素 x 的相机射线」与基元在其切平面上的交点的局部 2D 坐标［§3, p2］。原文对这一处的评价是：2DGS 这种原生的 (u, v) 参数化，让「在基元上定义空间变化」变得很方便：比如一般 2D 核，或者 2D 纹理［§3, p2］。

这就解释了第 6 章为什么能那么省事。 平面侧不需要发明新的参数化，2DGS 早就把 (u, v) 递到手上了；本篇只需要把 G′ 那个解析式换成网络。

2.4　本篇的原语与管线：三样东西组成一个基元

到这里可以把这个原语说全了。原文的构成是：一个 3D 包围椭球（类似 vanilla 3DGS 里的截断高斯）＋ 一个表示 3D 核的隐向量［§4, p2］。

每个基元走四步，原文的顺序是：

1. 把椭球投到图像平面，得到一个 2D 包围椭圆；
2. 把 3D 核投到 2D：用一个同时感知椭球属性的投影 MLP，把一个「表示 3D 核」的隐码变成「表示 2D 核」的隐码；
3. 解码：用一个解码器输出一个径向对称的 2D 核，用马氏距离表述、被那个 2D 椭圆界定，这就是最终的泼溅形状；
4. 交回标准泼溅管线，做后续处理（着色、alpha 混合）［§4, p2］。

第 1 步是解析的（就用式 (1)），第 2、3 步是学出来的（就是 Φ_proj 与 Φ_dec），第 4 步完全不动，本篇只换了中间那一环。

读这张图要盯住一个分工。 图把「训什么」和「怎么算」排成了一条链：左半是属性与投影，右半是解码与渲染。本篇全部可学的东西只有两块，Neural Projection MLP（第 3 章的 Φ_proj）与 Kernel Decoder（第 4 章的 Φ_dec）；采样式插值（第 5 章）与着色/alpha 混合（沿用既有）都在这两块之外。

3椭球托住隐码，投影网把核送上屏幕

这一章回答一个设计问题：一个体积基元里，哪些东西交给几何、哪些东西交给网络；定义完之后，它又怎么被送到屏幕上。 原文对前半给的答案是「几何归椭球、形状归隐码」，对后半给的答案是「椭球走解析、核走网络」。两半合起来，就是一个 3D 基元从定义到进入渲染器之前的完整路径。

3.1　一个基元里装了什么

原文把体积基元的几何拆成两件：一个 3D 包围椭球，和一个 3D 核隐码。椭球的属性包括中心 μ₃D、一个 3 维的尺度向量 s（用来表示缩放矩阵 S）、以及一个 4 维四元数 q（用来表示旋转矩阵 R）；隐码 z₃D 是一个向量（在多数实验里维度取 5），装着某个隐式 3D 核的参数［§5.1, p2］。

外观那一侧照抄 3DGS。 原文写明：每个基元可学的外观「与 3DGS 里的定义方式相同」，包括一个总的不透明度以及一个颜色模型的参数［§5.1, p2］。所以本篇没有在颜色上做任何新设计（这处「没做什么」在第 11 章会变成一次消融）。

3.2　为什么用包围椭球：两条理由

原文给了两条，一条偏学习、一条偏工程［§5.1, p2］。

第一条：把变换从网络手里拿走，网络只学「归一化」的形状。 椭球本身就直接建模了缩放/旋转/平移这三种变换，于是那两个 MLP 可以专注去学「归一化之后」的形状，把仿射变换留到之后施加［§5.1, p2］。反过来说，如果不这么做会怎样，原文也交代了：一个更激进的做法，让网络直接学形状本身，很可能需要更大、因而更慢的 MLP 去处理多出来的复杂度［§5.1, p2］。原文对这条取舍的评价是「我们相信这是质量与性能之间的一个好平衡」［§5.1, p2］。

第二条：椭球是现成的几何代理。 它可以直接当作排序与剔除的高效几何代理；而且它和 vanilla 3DGS 里的截断高斯很像，这就允许大量复用那条既有管线［§5.1, p2］。第 2 章里「第 4 步完全不动」靠的就是这一条。

把两条合起来看，其实是一次「把难学的部分划出去」。 位置、朝向、大小这三样是 3DGS 二十年来已经知道怎么优化的量，没必要让网络去重新发现；网络只需要回答「在单位椭球里，这枚印该刻成什么形状」。第 3 章的 Φ_proj 之所以能只有 4 层 64 个神经元，根子在这里。

3.3　两个隐码的分工，与一处内存上的后果

本篇一路下来有两个隐码，它们的位置完全不同，值得在这里先分清：

这个差别在画质上看不出来，但在内存上是硬的。 z₃D 是逐基元的参数，它的维度直接乘进基元存储里；z₂D 是投影网络的输出、网络的权重是所有基元共享的全局量，所以它既不在参数里，也不随基元数增长。第 11 章表 4-1 里那条规律，只有 dim(z₃D) 会动内存，dim(z₂D) 与两个网络的宽度几乎不动：根源就在这里。

换句话说，本篇的「形状自由度」被拆成了两半：一半是逐基元付内存的（z₃D），另一半是免费的（z₂D 与网络本身）。 这条设计在第 11 章会变成一句可操作的结论：想省内存就压 z₃D，想提画质就加宽网络。

3.4　外观那一侧：本篇什么都没改

说清「没做什么」同样重要。 原文写明每个基元可学的外观「与 3DGS 里的定义方式相同」，包括一个总的不透明度以及一个颜色模型的参数［§5.1, p2］。落到实验里就是表 1 里那两个变体，用球谐（SH）的与用球面 Beta（SB）的［§6.1.1, p4］。

这处「照抄」在第 11 章会有一次反向检验。 把 SH 换成每基元一个常数颜色（表 1 里的 Ours (3D,w/o SH) 行），PSNR 掉 0.20［表 1, p5］。掉得不算多，但作者据此下了一句判定：颜色的视角相关性与几何的视角相关性不等价［§6.2, p6］。也就是说，本篇的贡献集中在几何那一侧（核的形状），颜色那一侧只是把 3DGS 的现成做法搬过来用。

3.5　投影被拆成两半：椭球走解析，核走网络

椭球定义完，下一步是把它送到屏幕上。 这件事原文也说得很清楚：给定一份相机规格，把体积基元投到图像平面上［§5.2, p2］。这一段讲那两个全局网络里的第一个。

前半是解析的，不用学。 对 3D 包围椭球，直接用式 (1) 把它投出去，得到一个 2D 包围椭圆［§5.2, p2］。这一步沿用第 2 章的既有结论，没有任何新东西。

后半才是本篇的活。 原文的措辞是「类似式 (1) 把 3D 椭球投成 2D 椭圆的方式，我们学一个全局投影 MLP Φ_proj，把隐式 3D 核（也就是 z₃D）变换成一个隐码 z₂D（多数实验里维度取 5），它表示投影之后的 2D 核」［§5.2, p2］。写成式子：

注意这个式子的形状：左边只有一个输出 z₂D，右边却有四个输入。 这正是本章要讲的那件事，为什么输入不止一个。

3.6　朴素的输入为什么不够

原文先替读者想到了那个最自然的方案：只把 3D 几何（在本篇里就是 z₃D）和一份相机规格当输入，就像多数相关工作那样［§5.2, p2］。

然后它用实验否掉了这个方案。 原文的原话是：我们通过实验（Tab. 3）发现，往 Φ_proj 的输入里加入其他因子，能在保持泛化能力的同时带来质量提升［§5.2, p2］。这句话的后半截是关键，「保持泛化能力」说明多喂信息没有把网络带向过拟合某个场景；这一点由第 11 章的表 3-1 兑现。

3.7　多喂的三样，各管一件事

三样东西合起来回答的是同一个问题的三个侧面：这一枚印，在当前这个视角下，处于什么位置、多大、什么朝向。 前两样好理解，第三样先停一下，原文特意说 R^cam 是「朝向的紧凑表示」，而且「高效地编码了 3D 视角信息」［§5.2, p2］。这句话的分量在于：视角信息不是靠给网络喂相机位姿喂进去的，而是靠基元自身在相机空间里的朝向间接表达的。这样网络看到的是「这个基元相对相机怎么摆」，而不是「相机在世界里怎么摆」：前者与基元一一对应，后者要让网络自己去做一次配对。

3.8　Φ_proj 长什么样

「全局」两个字要划下来。 原文说的是「全局投影 MLP」［§5.2, p2］，也就是所有基元、所有场景共用同一个 Φ_proj。这与「每个基元挂一个自己的小网络」是两条完全不同的路线：全局网络逼着网络去学一套通用的「3D 核 → 2D 核」的投影规则，而每基元各自的隐码 z₃D 才承担个体差异。第 11 章表 3-1 里那条「末行对应我们当前的输入选择」，检验的正是这套规则在换场景后还成不成立。

为什么 4 层 64 个神经元够用，回到第 3 章那条取舍：仿射变换已经交给椭球了，网络只需在「归一化」的空间里学投影，输入里还额外补了三样位置/尺度/朝向信息。网络的活被划得很小，所以网络也可以很小。

4Φ_dec：一个网络，与一条必须遵守的对称性

这一章讲两个全局网络里的第二个，以及它唯一的一条硬约束。 前四节说这个网络是什么、为什么能这么窄；后四节说它为什么只能输出径向对称的核，那是全篇第一处由理论划出的边界。

第二个网络，也是全篇真正的「核」诞生的地方。 原文给了它一个小标题：定义［§5.3.1, p2］。

4.1　两步：先算 r²，再查（学出来的）剖面

第一步沿用式 (2)，但换了来源。 对一个给定像素，先算它相对投影后的基元中心 μ₂D 的马氏距离平方 r²，计算时用的属性来自对应的那个 2D 包围椭圆［§5.3.1, p3］。这一步没有新东西，但要注意「属性来自 2D 包围椭圆」这句：r² 的尺度是由椭球投影决定的，网络不参与决定核的作用范围。

第二步才是替换。 原文说：我们把相关工作里的解析形状函数（例如高斯［Kerbl et al. 2023］或 Beta［Liu et al. 2025b］）换成一个全局 MLP Φ_dec。它收 r² 与 z₂D 作输入，输出一个不透明度 d［§5.3.1, p3］：

这个式子只有两个输入，比式 (4) 干净得多。 原文接着解释它的语义：这个 MLP 本质上描述的是一条「径向对称的 2D 泼溅核」的 1D 剖面，作用在 r² 取值于 [0, 1] 的范围内［§5.3.1, p3］。

把两句话拼起来看，本篇的核心设计就在这一行里。 前人写的是 exp(−½ r²) 或某个 Beta 形式的具体函数；本篇写的是一个网络的输出。函数形式不再由人指定，而是由训练数据决定，这就是标题里「learning splatting kernels」的落点。

4.2　Φ_dec 长什么样，以及为什么可以这么窄

4 个神经元是一个很小的数，小到值得问一句凭什么。 三个理由叠在一起才成立：

第一，输入只有两维。 式 (5) 要学的映射是 (r², z₂D) → d。z₂D 只有 5 维，r² 是标量，整个输入空间一共 6 维，而且 r² 还被限定在 [0, 1] 上。

第二，被学的对象是一条「径向对称」的 1D 剖面。 原文明确说 Φ_dec 描述的是 1D 剖面［§5.3.1, p3］。也就是说不管基元在屏幕上铺多大，网络要回答的始终是「离中心多远（归一化到 [0,1]）该落多少墨」，与方向无关。第 4 章会说明这个「与方向无关」不是偷懒，是被一条拓扑结论逼出来的。

第三，形状的复杂部分已经由 z₂D 承担。 网络本身不需要表达很多种函数，它在固定的一套「归一化形状」上作答，具体这一枚印刻成什么样，由 z₂D 这个隐码区分。

sigmoid 那一层也还要补一句。 它把输出界定在 (0, 1) 里［§5.3.1, p3］。对一个不透明度来说这个约束是自然的，但它同时意味着：核的峰值不可能超过 1，且永远不会真正归零（sigmoid 只在无穷远处到 0 或 1）。第 10 章算表示效率时，d 的这些性质会重新出现。

4.3　这一步把「线积分」换成了一次网络求值

回到第 1 章那块石头：一般 3D 基元的线积分没有闭式解。本篇的处理是在链条上换一个位置出题：不去积分 3D 密度，而是直接让网络回答「投影之后，离中心 r² 处的落墨率是多少」［§5.3.1, p3］。

这个换法的代价与收益要对齐着看。 收益是不再需要 3D 密度有闭式积分，也不再需要假设形状是凸的、或者限制成某类网络；代价是核不再是解析式，于是它没有了「参数一改就知道形状怎么变」的可解释性，也没有了直接算出解析渲染公式的可能，这两条在第 5 章（要靠采样来做加速）与第 12 章（作者提出用符号回归反过来找解析式）都会再出现。

4.4　两处限定：r² 的作用域，与 d 的去向

第一处限定：Φ_dec 只在椭圆内部有定义。 原文给 Φ_dec 划的作答范围是 r² 取值于 [0, 1]［§5.3.1, p3］，同时说最终的泼溅形状被那个 2D 椭圆界定［§4, p2］。两句合起来的意思是：核的作用范围由几何（椭球投影出的 2D 椭圆）决定，网络只负责在这个范围内分配墨量。椭圆之外的落墨不由这个核描述。这也解释了为什么第 3 章那条「几何归椭球、形状归隐码」的分工能成立，连「核铺到多大」都不归网络管。

第二处限定：d 不是一个孤立的数，它要进 alpha 混合。 原文说这个形状接下来交给标准泼溅管线做后续处理（着色、alpha 混合）［§4, p2］。所以 d 的角色就是混合时的那个不透明度权重。这解释了 sigmoid 那一步为什么是必要的，输出必须落在 (0, 1) 上，否则它没法当权重用［§5.3.1, p3］。

这两处限定连起来，划出了 Φ_dec 的职权边界：它决定「在一个已经被几何定好形状的范围内，从中心到边缘怎么衰减」，仅此而已。位置、朝向、大小、作用范围，全在它之外。

4.5　一般 2D 核需要一个 2D 坐标架，而那个坐标架造不出来

解码器定完了，接下来的问题是它为什么只能输出径向对称的核。 原文给这件事单开了一个小标题，径向对称的理由［§5.3.2, p3］；它的答案不是「省事」，而是一条拓扑上的不可能性。这一节同时是全篇第一个「边界」：本篇是主动放弃一般 2D 核的。

原文先摆出问题：我们选择输出一个径向对称的 2D 核，而不是一般的核，原因在于「把任意 3D 视角条件映射到一个 2D 坐标架」这件事存在理论上的不连续性：而一般的 2D 核恰恰要定义在那个 2D 坐标架上［§5.3.2, p3］。

原文点名了这个数学结论：hairy ball 定理［Hatcher 2002］［§5.3.2, p3］。这一定理说的正是「球面上不存在处处非零的连续切向量场」：换句话说，你没法在视角球面上连续地挑出一个方向来当「坐标架的 x 轴」。只要视角绕球面走一圈，这个选择必然要在某处跳变。

4.6　试过一次，代价是动画里的突转

原文交代了试点研究（pilot study）的结果：他们先试了一个平滑技巧来缓解这个不连续性，但结果是，在某些视角方向附近，2D 核会发生快速旋转，这在动画里看着很受干扰［§5.3.2, p3］。

这句话的价值在于它把「不连续」翻译成了可见的失败模式。 不连续性本身是抽象的；「核绕某些视线突然转了」是能看见的。而且它是统计意义上的偶发：只在某些方向附近出现，平时可能看不出来，一旦动画扫过那些方向就会跳一下，这类问题最难在静态图里发现。

4.7　绕开，而不是修补

本篇的处置是釜底抽薪。 原文写：通过把输出限定为径向对称的 2D 核，我们从一开始就避开了上述那个映射：因为那个 2D 坐标架不再需要了［§5.3.2, p3］。

这一步的逻辑要慢慢读。 常见做法是「先建坐标架，再在坐标架里做旋转不变化」；本篇是直接取消坐标架的存在必要。径向对称的核只需要一个标量（离中心多远）就能定义，方向根本不进入描述，所以不连续的那一步没有被解决，而是被移除了。

原文还补了一句旁证：这个挑战在既有的可学习核工作里也被提到过，指明是 [Huang et al. 2025] 的 §3.4［§5.3.2, p3］。这说明「一般 2D 核难做」不是本篇一家之见。

4.8　这一条同时解释了前人为什么都是径向对称的

把这一章放回第 2 章去看，会多出一层解释力。 原文在 §2.1 里写过一句：前人的那些核大多是径向对称的，而原因会在 §5.3.2 里展开［§2.1, p1］。现在答案揭晓了，那个「原因」不是历史惯性，而是同一条拓扑限制。所有人都撞上了同一面墙，只是它在本篇里被正面写了出来。

代价也要写清楚。 放弃一般 2D 核意味着放弃了「同一枚印在不同方向上刻得不一样」的自由。原文承认本篇的核只是视角相关（同一视角下换个基元、或者换个视角看同一个基元，剖面会变），但在给定视角与给定基元下，它仍是径向对称的［§5.3.2, p3；§6.1.2, p4］。而有意思的是：平面基元那一侧原文并没有做这个限制：第 6 章的平面基元学的是一般 2D 核、是不对称的［§2.2.2, p2；§5.4, p3］。为什么两边不一样，第 6 章会给出原文依据：平面侧根本不需要 3D→2D 的坐标架映射。

5拿 k 个采样点替掉逐像素调网

到第 4 章为止，核已经学出来了，但它还只是一次网络求值。 这一章讲原文怎么把它变成能跑的渲染，小标题是加速［§5.3.3, p3］。

5.1　问题：原语内每个像素都调一次网，太贵

原文的表述是：在我们的包围椭圆里对每个像素都直接执行 Φ_dec，算力上可能是很贵的［§5.3.3, p3］。贵在哪要算一下：一枚基元在屏幕上可能覆盖成千上万个像素，而每个像素都要跑一次 3 层 MLP。

5.2　做法：把 1D 剖面预先采出来，渲染时插值

原文的处置是预采样加插值。 具体做法是：对每个基元，我们在 r 的 [0, 1] 区间上放 k 个均匀采样，记作 {rᵢ}（1 ≤ i ≤ k）；只在这些采样点上跑 Φ_dec，把结果存成 {dᵢ}［§5.3.3, p3］：

渲染时再用插值把中间的值补出来。 对光栅化过程中某个具体像素算出来的任意 r，先找到它夹在哪两个采样之间，即满足 r_c ≤ r ≤ r_c+1，然后用线性插值得到最终结果［§5.3.3, p3］：

5.3　这一手真正买到的是什么

原文有一句精准的判词：这本质上是把「一枚基元里的像素数」与「Φ_dec 的调用次数」解耦了［§5.3.3, p3］。

这句话的分量在于，「解耦」之后渲染成本的结构变了。 在此之前，渲染一枚基元的代价里有一项与它覆盖的像素数成正比、而且是网络求值那种贵操作；在此之后，网络调用次数只由 k 决定，与它在屏幕上铺多大无关。一枚贴着镜头的巨大基元与一角硬币大小的基元，只要 k 相同，网络调用次数就相同。

5.4　插值方式没有被写死

原文特意声明这一点不是本篇的约束：我们的做法不绑定任何一类插值；更精细的插值也能插进来，代价是更多算力、换来更高阶的光滑度［§5.3.3, p3］。

多数实验取 k = 2。 原文的理由是「据 §6.2 所述，它已经足以产出高质量的结果」［§5.3.3, p3］。k = 2 意味着每个基元的剖面只用两个采样点加线性插值：一条折线，原文在后面把它叫作「简单的锥形帽（conical-hat）形状的核」［§6.2, p6］。这听起来过于粗糙，但第 11 章会给出它在什么条件下就够用了。

顺带一个容易看漏的事实：k 只是运行期的采样密度，不是基元参数。所以增大 k 不会增大显存占用：表 2 的注文写的就是这一句：我们的内存占用不随 k 变化［表 2, p5］。第 10 章算表示效率时会用到它。

5.5　渲染内环的伪码

前提 1：每枚基元已经算好自己的 z₂D（来自 Φ_proj）与 2D 包围椭圆（来自式 (1)）。
前提 2：k 是全局常量（多数实验 k = 2），与基元无关、与它覆盖多少像素无关。

#，离线（每帧、每基元一次，O(k)），
for rᵢ in {r₁ … r_k}: # r 在 [0, 1] 上均匀采样
 dᵢ ← Φ_dec(rᵢ², z₂D) # 式 (6)：只在这里调网络

#，光栅化内环（每像素），
r ← 由该像素与 μ₂D、Σ₂D 算出的马氏距离 # 来自式 (2)
找 c 使得 r_c ≤ r ≤ r_{c+1}
λ ← (r − r_c) / (r_{c+1} − r_c) # 式 (7)
d ← (1 − λ)·d_c + λ·d_{c+1} # 插值，不再调网络

内环里没有网络求值，这是这段伪码唯一要记住的事。 网络调用全被推到上面那个 O(k) 的循环里去了。

5.6　把这一手的省法算一遍

「解耦」到底省了多少，可以数出来。 设一枚基元在屏幕上覆盖 N 个像素（对贴镜头的基元，N 很容易上万）。

看最后一行的两个数：N 与 k。 N 由「基元铺多大」决定，是渲染期的几何量；k 是配置里写死的常量。把 N 换成 k，等于把一项随几何浮动的成本换成了一项固定成本：这就是「解耦」在数字上的样子。

这也解释了第 10 章那个看起来矛盾的现象。 第 10 章会说本篇「原语数最少、却比原语更多的对手更慢」。谜底正在这张表：本篇每枚基元每帧仍要付 k 次网络前向，而解析核的对手一次都不用付。 省下的原语数换不回这一步的开销，所以原语数量的优势被网络的固定成本吃掉了。真正的代价分解在第 12 章：Φ_proj : Φ_dec : 光栅化 ≈ 9 : 2 : 1［§7, p6］，光栅化（也就是唯一与像素数相关的那一部分）只占一成。

6同一套办法搬到平面基元：改动清单

这一章讲原文两处最大的扩展之一（另一处是第 9 章的「学习视角相关」）。原文的定位是：除了体积基元，这个思路也能用在 2D 泼溅里的平面基元上，去学一般的 2D 核；为了少重复文字，下文只讲平面基元在定义与处理上与体积基元不同的地方［§5.4, p3］。

6.1　四处改动

解码那一步写成式子：

其中 (u, v) 是「该像素对应的相机射线」与平面基元在切平面上的交点的 2D 坐标［§5.4, p3］。这正是第 2 章式 (3) 里 2DGS 那套原生参数化，平面侧不需要发明新东西，直接把 (u, v) 接进网络。

6.2　输入从「两个」变成「三个」，性质也变了

最要紧的差别藏在输入里。 体积侧的 Φ_dec 只收 (r², z₂D)，两个输入都是与方向无关的：r² 是距离，z₂D 是隐码，输出必然是径向对称的。平面侧收的是 (u, v, z₂D^after)，其中 (u, v) 是带方向的坐标。方向一进输入，输出就可以不对称了。

原文明确认领了这一点：我们的平面基元是不对称的，而且可以看成 [Huang et al. 2025] 的推广版本，理由是，式 (8) 是一个 MLP（也就是说，我们没有像那篇那样假设核是参数曲线）［§2.2.2, p2］。

把第 4 章与这一节并排看，会浮出一个问题：为什么体积侧不许不对称、平面侧却可以？ 答案在第 4 章已经给过，那条拓扑限制针对的是「把任意 3D 视角条件映射到一个 2D 坐标架」［§5.3.2, p3］。平面基元本身就活在切平面上，(u, v) 是现成的，不需要从 3D 视角去构造坐标架，那道坎根本不存在。所以两侧的差异出于同一个理由，不是疏忽。

6.3　编码器宽度的差别也是一条线索

原文对这一处差异只给了一句理由：Φ_dec^planar 的架构几乎与体积侧的 Φ_dec 相同，只是每个隐层的神经元数翻倍到 8，以应对一般 2D 核多出来的复杂度［§5.4, p3–p4］。

把两处的宽度放在一起看：体积侧 4 个神经元、平面侧 8 个。差别来自输出空间的自由度，径向对称只有「距离」一维要表达，一般 2D 核要表达「哪个方向给多少」。网络只宽了一倍，是因为大部分形状差异仍然由 z₂D^after 那 10 维隐码承担，这一点与第 4 章同构。

6.4　两处数字的来历，与一处原文没交代的地方

先说 (u, v) 的来历，它不需要本篇发明。 第 2 章式 (3) 里那套 2DGS 参数化已经给好了，(u, v) 是「该像素对应的相机射线」与基元在切平面上的交点的局部 2D 坐标［§3, p2］。平面基元本身就躺在这张切平面上，所以它天然有一对平面内坐标，方向信息直接可用。这跟体积侧要靠「相机空间下的朝向」间接表达视角，是两种完全不同的处境。

再说 10 维这个数。 原文只是给出这两个隐码都是 10 维［§5.4, p3］，没有解释为什么取 10。能观察到的是它与另外两处改动同步翻倍：体积侧 z 默认 5 维 → 平面侧 10 维；解码器隐层 4 个神经元 → 8 个［§5.3.1, p3；§5.4, p3–p4］。两处都翻倍，方向是一致的：一般 2D 核的自由度比径向对称大。 但原文没有为平面侧做 z 维度的消融（表 4 只消融了体积侧的 z₃D／z₂D 与两个网络的宽度），所以「10 维够不够、9 维或 12 维会怎样」在原文里没有答案。

这处缺口要记下来，因为它与第 10 章那条「效率只在体积侧验证」是同一类问题：本篇的口径在体积侧很细，在平面侧较粗。

6.5　这一章小结：两侧共用的是什么、分开的是什么

这张表里最值得记的是「对称性」那一行。 它是本篇内部唯一的、由理论而非工程决定的分歧点，第 4 章那条 hairy ball 的限制只对体积侧成立，因为只有体积侧才需要从 3D 视角去构造 2D 坐标架。

7预训练与两段式训练：为什么先冻 2000 步

这一章讲训练。 原文把它放在实现细节里，但里面有两条做法要单独拎出来，先预训练两个网络、再把训练分成两段。

7.1　先预训练：在动场景之前，先把两个网络训好

原文的顺序是：我们在 3D 重建之前，先给神经投影与核解码器做预训练［§5.5, p4］。

训练数据是合成的。 原文的做法是：随机采样 μ^cam_3D、s 与 R^cam，然后随机采样 r，按式 (6) 得到目标剖面的样本［§5.5, p4］。也就是说，预训练阶段根本不需要场景、不需要图像，只要在「几何属性」与「剖面」之间造出一组合成对应关系就行。

目标剖面两边不一样，这一处很有说服力：

为什么体积侧选余弦，原文给了结果但不给理由：它把这件事做成了消融：预训练比不预训练带来更高的重建质量，详见 Tab 5［§5.5, p4］。第 11 章会把那张表逐格算一遍（表 5-1），届时会看到余弦并不是唯一能用的目标，但它是实测最好的那个。

7.2　两段式训练：因为自由度比标准 3D/2DGS 高

原文明确给了分段的理由：我们采用两段式训练策略来提高稳定性，因为我们的基元相比标准 3D/2DGS 有更高的自由度［§5.5, p4］。这句话把因果说清了，分段的动机是先稳住。

「前 2000 步冻结」这个设计要顺着自由度的思路才读得通。 标准 3DGS 里，每个基元的属性都是直接可学的量；本篇的基元多了一层，它的形状要先经过两个网络。训练刚开始时，位置与尺度还在剧烈变动（点云刚从 SfM 出来），此时若同时让网络跟着动，两个不稳定的东西互相追。先冻住网络 2000 步，等于先把几何安顿下来，再让网络去适配。

还有一处沿用要记下来。 原文写明：我们也采用了同一篇工作里那个「与核无关（kernel-agnostic）」的 MCMC 密度控制策略，因为它有效、而且不绑死在某类特定核上［§5.5, p4］。这条「不绑核」的性质对本篇是必需的，本篇的核是学出来的，任何假设核形状的密度控制策略都用不了。

7.3　超参一栏

学习率衰减了两个数量级，这与第 4、5 章那两个网络「只负责一个被划得很小的子问题」是同一件事的两面：它们的搜索空间小，所以可以用更细的步长去收。

7.4　训练循环的伪码

前提 1：z₃D 全零初始化；Φ_proj / Φ_dec 用 He 初始化。
前提 2：预训练不依赖场景，只用合成的 (几何属性, 剖面) 对（§5.5）。

#，预训练（无场景），
repeat:
 随机采 μ^cam_3D, s, R^cam
 随机采 r，按目标剖面取样本
 体积：d_target = cos(π/2 · r²)
 平面：d_target = 2D 高斯 surfel 的值
 联合优化 Φ_proj 与 Φ_dec 去贴合 d_target

#，建场景（两段式），
初始化基元（点云来自 SfM 或随机点）
for iter in 1 … 2000: # 第一段：稳住几何
 冻结 Φ_proj 与 Φ_dec
 只优化基元属性

for iter in 2001 … 30000: # 第二段：全部联合
 优化全部参数（损失 = 图像损失 + 不透明度/尺度正则，取自 [Liu et al. 2025b]）
 Φ_proj / Φ_dec 的学习率从 1.6e-4 指数衰减到 1.6e-6
 密度控制：沿用 [Liu et al. 2025b] 的 kernel-agnostic MCMC

这段伪码里有两次「先」：先训网络再建场景，先稳几何再动网络。两次都是同一类判断，把耦合的两件事错开，别让它们同时收敛。

8主结果：4 个基准 21 个场景上它站在哪

这一章是账面。 原文把评测信息压在三段里：机器、场景、指标。

8.1　先钉住口径

原文交代的评测条件是：

那条「唯一例外」必须跟着结果一起读。 平面基元在两个场景上要换一块更大的卡才跑得动［§6, p4］，这说明本篇的显存账在平面侧并不轻松。第 10 章会看到：表示效率那张表（表 2）其实只算了体积侧。两条合起来，本篇在平面侧的显存成本是没有被量化的。

NeRF Synthetic 是合成场景这一条也要留意。 原文写明除它之外全是实拍［§6, p4］。表 1 里 NeRF Synthetic 那一列的数字普遍高出一大截（我们的 PSNR 在 34 以上），这个量级差首先来自数据本身。

8.2　对比对象分两类

原文把基线按来源分成两组［§6.1.1, p4］：

这个分组本身就是本篇的定位：它在两组里同时参赛，而且两组都有对手。第 1 章说的「两条前人路线各有死结」，在这里变成了一张表上的两排对手。

本篇自己有两个变体，区别只在颜色模型：用球谐（SH）的，和用球面 Beta（SB）的要［§6.1.1, p4］。原文的判词是：在 3D 与 2D 两种泼溅上，我们的方法在所有基准的所有画质指标上都是最好或次好［§6.1.1, p4］。逐场景的细分数据原文放进了补充材料［§6.1.1, p4］。

8.3　把表 1 自己算一遍

这句话不能只信结论，得数一遍。 表 1 是 4 个数据集 × 3 个指标 = 12 个小格；每个小格里，本篇的某个变体要么第一、要么第二，才叫「最好或次好」。挑几处验一下：

这样数下来，「最好或次好」是站得住的，但它有一个重要读法：并非每一格都是第一。 Mip-NeRF360 的 LPIPS 上 DBS 的 0.182 就比我们的 0.185 更小（LPIPS 越小越好）；Mip-NeRF360 的 SSIM 上 DBS 的 0.844 也比我们最好的 0.842 略高［表 1, p5］。换句话说，在最主流的那个基准上，本篇的优势集中在 PSNR，而在 SSIM 与 LPIPS 上是紧咬、并非领先。 这一点原文没有单独强调，但它在表里明摆着。

另一个要看清的地方是「两个变体差多少」。 同一行里 Ours（3D+SH）与 Ours（3D+SB）的差距很小，比如 Mip-NeRF360 上是 28.73 对 28.82、NeRF Synthetic 上是 34.72 对 34.58［表 1, p5］。颜色模型换掉并不改变结论，这与第 11 章「关掉视角相关颜色会怎样」是两件不同的事，后者会掉得更多。

表里还有一行是给消融用的：Ours (3D,w/o SH) for ablation，28.53 / 0.835 / 0.192（Mip-NeRF360）［表 1, p5］。它不参与排名，第 11 章会展开。

8.4　2D 图像表示那一笔

平面侧的画质对比在表 1 里与 2DGS、BBSplat、DRK 同框［§6.1.1, p4；表 1, p5］。而 2D 图像表示上，原文另给了与 GabSplat［Wurster et al. 2024］的对照，条件是两者使用相近的原语内存占用［Fig. 4, p5］。

这张图的边界写在原文图注的最后一句里：与 3D 泼溅不同，这里学到的核是一般 2D 核，不限于径向对称［Fig. 4 图注, p5］。这正是第 6 章那条路径的兑现，图 4-1 是本篇唯一展示「不对称核」的证据图。

定性对比另外放在图 7 里，对手是 3DGS-MCMC、SSS 与 DBS 三条［§6.1.1, p4］。

图 7-1 有一个容易被误读的排印事实。 它印在 p8，而参考文献从 p7 就开始了，这不是「附录里的补充结果」：原文把两张大宽图推迟(floated)到末两页。正文对它的引用在 §6.1.1［§6.1.1, p4］，本章与第 10 章按引用位置归属，看页序会误判。

9学出来的核长什么样

第 1 章说「核是本篇要学的东西」，这一章看它到底学出了什么。 原文给了三张图，分别回答三个层次的问题：同一枚印在不同视角下变不变、统计上怎么变、会不会随场景类型分化。

9.1　图 3-1：剖面随视角变，前人的不变

原文的做法是把剖面并排画出来比。 原文说：我们先可视化不同方法里单个径向对称核的 1D 剖面，包括我们的几个 k 变体、vanilla 3DGS、SSS 与 DBS［§6.1.2, p4］。

它特意指出了一处差别：我们的核是「通过学习」而视角相关的，而前人那些核（在第 3 章描述的仿射变换之前）是视角无关的［§6.1.2, p4］。

这张图的读法决定能不能看懂它在说什么。 它不是「形状对比图」，而是「同一方法跨视角的稳定性对比图」。前面几行（我们的）跨列会变形，后面几行（前人的）跨列几乎重合：那个「会变形」就是本篇标题里 view-dependent 的可见形式，也是第 3 章 Φ_proj 多喂三样输入的产出。

9.2　图 5-1：一个标量统计量，随视角变也随场景变

原文的办法是挑一个标量来统计。 它说：在 Fig. 5 里我们可视化学到的核跨视角与跨场景的统计［§6.1.2, p4］。

这个标量选得很巧：d₁ = Φ_dec(0, z₂D)，也就是核在中心处（r = 0）的落墨率，原文注明它按式 (6) 定义［§6.1.2, p4］。一条剖面被压成一个数：这个数就是「这枚印最中心有多浓」。

原文从这张图里读出两件事：这个直方图不只因为学出来的视角相关性而随视角变化，它还随不同场景变化，这展示了我们把核的几何适配到输入数据的能力［§6.1.2, p4］。

「随场景变」这一句比「随视角变」更要留意。 随视角变是 Φ_proj 的输入里带了视角信息的直接后果；而随场景变意味着，同一个网络、同一套权重，在不同场景里长出了不同的核分布。这条性质正是 11.3 节那个「专用基元」结论的入口。

9.3　图 6-1：核会不会随场景类型分化

原文在这一节做了一次控制实验。 它挑了两类场景，毛发与植被：并说明数据是这么造的：对每个场景，我们生成 100 张训练图像，做法是在上半球上随机采一个朝向场景中心的视点，然后用 Blender 把对应的 3D 场景渲出来［§6.2, p6］。

结论有两句，第二句是重点。 第一句：图中显示基元分布与场景类型之间存在强相关［§6.2, p6］。第二句：对每一类场景，学到的基元的总体分布看起来相当相似［§6.2, p6］。

原文从这个「相似」直接推出一句关于未来的话，值得原文照录：这提示了一项有意思的未来工作，进一步压缩这些相似的基元，以获得更高效的表示；换句话说，这个框架可以当工具用，去自动生成新的、面向特定场景类型的专用泼溅基元，而不再只用通用基元［§6.2, p6］。

把这句话放回全篇的动机里看，它的分量不小。 第 1 章那个「正方形比高斯省」的例子问的是「什么形状最优」；到这一章，答案变成了「形状没有唯一最优，它取决于场景类型」：而这正是把「核」从手工设计里拿出来的全部理由。

10表示效率：同样的内存预算换回多少画质

第 8 章比的是画质，这一章比的是「花多少内存换这些画质」。 原文的小标题是表示效率［§6.1.3, p4］。

10.1　口径：先关掉颜色，只看几何

这一节的做法有一处刻意的简化，必须跟着结果一起读。 原文说：具体来说，按照［Liu et al. 2025b］补充材料里的协议，我们关掉全部视角相关的颜色成分，以便把注意力集中在核的几何带来的影响上［§6.1.3, p4］。

换句话说，这张表量的是「核」的功劳，不是「颜色模型」的功劳。 表 1 是完整系统对完整系统，表 2 是把两边都削到只剩几何之后的对照，两张表的差别正是本篇「几何视角相关」与「颜色视角相关」的分工（第 11 章会回到这一条）。

比较的条件是：在 Tanks & Temples 数据集上，给每类方法三档不同的原语内存占用：约 25MB、约 50MB、约 100MB［§6.1.3, p4；表 2, p5］。指标三项：重建质量（PSNR）、原语数量（#Prim.）、渲染速度（FPS）［表 2 注文, p5］。

10.2　把表 2 自己算一遍

原始读数（表 2, p5）先摆全，下面所有结论都从这里算：

第一笔账：在最小的那一档，本篇其实是全场最低。 25MB 档里，Ours(k=2) 的 22.80 低于 3DGS-MCMC 的 22.83、更低于 3DGS 23.12、DBS 23.57、SSS 23.90［表 2, p5］。把 k 调大能救回来（k=4 → 24.08、k=8 → 24.19，都超过 SSS），但那意味着「在极小预算下想用好它，得自己把 k 调上去」：这个前提原文没有明说，是表里读出来的。它的原语数在这一档是最少的（328K），与「PSNR 最低」并列，说明这一档不是它的主场。

第二笔账是这一节真正的论据：用一半的原语数，赢过对手的最大档。

（三行的「对手最好档」都取自同一个数据集的 ~100MB 档；比例按 #Prim. 现算。）

第三笔账是最大档的绝对领先。 Ours(k=2) 在 ~100MB 档拿到 25.22，比第二好的 SSS（24.38）高 0.84，而它用的原语是 1.32M，比 SSS 的 1.56M 少 15.4%、比 DBS 的 1.67M 少 21.0%［表 2, p5］。注意这一档里 k=2 反而是最好的（25.22 ＞ k=4 的 25.15 ＞ k=8 的 25.04）：这与 25MB 档里 k 越大越好的趋势正好相反，第 11 章会把这条单独讲。

10.3　代价记在帧率上

上面前三笔账都没有把 FPS 算进去。 一旦算进去，画面就变了：

「原语更少」并没有带来「更快」。 这看起来与直觉相反，原因在第 5 章埋过伏笔：加速那一手把 Φ_dec 的调用次数降到了 k 次，但它没有把网络从渲染里拿掉：每枚基元每帧仍要跑 k 次网络，还有 Φ_proj。作者的量化在第 12 章：Φ_proj、Φ_dec 与光栅化的耗时比约为 9 : 2 : 1［§7, p6］。两个网络吃掉了九成以上的时间，原语数量的优势因此被掩盖。

还有一件容易被漏掉的事：内存不随 k 变。 表 2 的注文写得很明确，我们的内存占用不随 k 变化［表 2, p5］。三档里 k=2／4／8 的原语数完全一样（328K／657K／1.32M）就是这个意思。原因是第 5 章那条：k 只是运行期的采样密度，采样值是由 Φ_dec 现算的，不作为基元参数存下来。所以 k 是一个可以事后调、且不花内存的旋钮。

10.4　定性对照与两条口径限定

图 8 把「不同内存预算」下的定性对比画了出来，对手与图 7 相同（3DGS-MCMC、SSS、DBS），我们的三个 k 变体都出现［§6.1.1, p4；Fig. 8 图注, p9］。

这一节有两条口径限定要跟着写出来，否则容易把结论放大：

• 限定一：表 2 只算了体积侧。 表里七行全是体积基元（我们的三行是 k=2／4／8），平面基元的效率没有被量化。第 8 章那条「平面基元在两个场景上必须换用 RTX PRO 6000」暗示平面侧的显存成本不低，但原文没有给出数字［§6, p4］。
• 限定二：只在 Tanks & Temples 一个数据集上做。 表 2 的注文写明比较是在该数据集上进行的［表 2 注文, p5］。效率结论没有跨数据集验证。

11四个旋钮，与一个「k 看预算」的结论

这一章把散在三张表里的消融并到一处。 原文一共转了四个旋钮：Φ_proj 吃什么（表 3）、隐码维度与网络宽度（表 4）、预训练的目标剖面（表 5）、以及颜色模型（表 1 里那一行）。外加 k 这个不花内存的旋钮。

11.1　旋钮一：Φ_proj 的输入（表 3）

这一张表兑现的是第 3 章那句「多喂因子能提质量又不伤泛化」。 对象是 Tanks & Temples 与 Deep Blending 两个数据集，末行是当前选择［表 3 注文, p6］：

算三处增量，能把这几个因子各自的份量分开：

• 加上 R^cam 值多少：z₃D, μ^cam_3D, s → z₃D, μ^cam_3D, s, R^cam，T&T 上从 24.53 涨到 25.42（+0.89）；DB 上从 30.25 涨到 30.52（+0.27）［表 3, p6］。这是单笔最大的一处提升，与第 3 章「R^cam 高效编码了 3D 视角信息」那句话对得上。
• 加上 z₃D 值多少：s, R^cam → z₃D, s, R^cam，T&T 上从 24.82 涨到 25.37（+0.55）［表 3, p6］。核的隐码本身是有用的。
• 去掉 z₃D 代价多大：z₃D, s, R^cam → s, R^cam，T&T 上从 25.37 掉到 24.82（−0.55）：与上一条同源，方向一致。

但这里有一处两数据集不一致，值得点出来。 单看 T&T，最好的是 z₃D, μ^cam_3D, R^cam（25.45），比当前选择的 25.42 高 0.03；换成 Deep Blending，最好的却是当前选择（30.52），而前者只有 30.18。当前选择在 DB 上第一、在 T&T 上只差 0.03：这就是原文说它「在保持泛化能力的同时」的实测含义：默认组合不是每个单表上的最优，但它是唯一在两个表上都接近最优的。

11.2　旋钮二：隐码维度与网络宽度（表 4）

这张表把「两个隐码」与「两个网络」的规模摆在一起，还带一列内存［表 4, p6］：

先看内存那一列，它的规律比画质那一列更干净。 九行里，只有 dim(z₃D) 那两行动了内存（360.04 / 414.04），其余七行全部停在 384.04 或只差 0.01–0.15 MB［表 4, p6］。原因不难推：z₃D 是逐基元存储的参数，维度直接乘进基元存储里（9 个维度差对应 54 MB，即约 6 MB/维）；而 z₂D 是 Φ_proj 在渲染时现算出来的，网络宽度是全局共享的权重，两者都不逐基元占内存。所以「想省内存就压 z₃D，想提画质就加宽网络」：这两件事的代价完全不在一个量级上。

再看画质那一列，它给出的是一条「两端都好、中间有坑」的曲线：

• dim(z₂D)=1 是最伤的一处：DB 上只有 29.37，是全表最低（比默认的 30.47 掉 1.10）；T&T 上 24.94 也是全表第二低，只比最低的 width(Φ_dec)=2（24.75）好一点［表 4, p6］。投影后的隐码太窄，投影这一步就表达不出来，这与第 3 章「Φ_proj 的输出是 z₂D」的定位一致。
• width(Φ_dec)=2 是另一处：T&T 24.75，比默认的 25.42 掉 0.67［表 4, p6］。解码器再小也有底线。
• 两端加大都能换到一点：dim(z₃D)=10 在 T&T 上拿到全表最高的 25.52（+0.10，代价 +30 MB）；width(Φ_proj)=128 拿到 25.50（+0.08，代价 +0.11 MB）；width(Φ_dec)=8 在 DB 上拿到最高的 30.48（+0.01）［表 4, p6］。

这一处「两份数据集的赢家不同」又一次出现：dim(z₃D)=10 在 T&T 上第一，在 DB 上却是 30.12，低于默认的 30.47 不少。原文对默认组合的判词是「在质量与内存占用之间取得了良好的平衡」［§6.2, p6］，上面这笔账正是它的依据。

11.3　旋钮三：预训练的目标剖面（表 5）

这是本篇最值得细看的一张消融，因为它把「预训练有没有用」与「用哪种目标」分开了。 对象是 Tanks & Temples，列为五种预训练方式 × 三档 k，单位是 PSNR［表 5, p6］：

把两笔差分开算，结论会很清爽：

• 「预训练 vs 不预训练」的差是 1.62–6.88 PSNR。k=2 时 25.42 − 23.18 = +2.24；k=4 时 25.34 − 23.72 = +1.62；k=8 时 25.42 − 18.54 = +6.88［表 5, p6］。这是数量级最大的一笔。 原文对这一处的限定是：在不预训练的实验中，学习率被乘了 10［§6.2, p6］，也就是说这条对照已经给了「不预训练」一个更激进的步长，差距仍然这么大。
• 「四种预训练目标之间」的差最多只有 0.20–0.33。k=2 时四值落在 25.22–25.42（跨度 0.20）；k=4 时 25.04–25.37（跨度 0.33）；k=8 时 25.11–25.42（跨度 0.31）［表 5, p6］。

两笔并起来读，才是这张表真正说的话：要紧的是「先预训练」这件事本身，至于拿什么形状当目标，并没有那么要紧：四条曲线彼此贴得很近。原文的口径是「我们选择余弦形状，因为它带来最好的结果」［§6.2, p6］；按上表，余弦在 k=2 与 k=8 两列上是第一，在 k=4 那一列上输给 polynomial 0.03。这个选择是「同类里最好」，不是「唯一能用」。

k=8 那一列的 18.54 还要单独看一眼。 不预训练时 k=8 掉得比 k=4（23.72）和 k=2（23.18）都狠，说明没有预训练打底时，把剖面采样点加密不但没帮助，反而更容易训崩。这与 13.4 节那条「k 该取多大看预算」是同一条线索的两端。

11.4　旋钮四：k，以及它为什么会转向

k 的结论藏在表 2 的后三行里（第 10 章已经摆过原始读数）。原文的判词是：在原语内存占用较小时，增大 k 会带来更高的重建质量，因为学到的核的表达力提高了；而在内存占用较大时，这个趋势观察不到［§6.2, p6］。

把三档的 k 曲线拉出来，这条判词是能量化的：

原文给的理由是：随着原语数量（也就是内存占用）增加，每枚泼溅在屏幕空间里的平均尺寸变小了；于是简单的锥形帽形状的核（k = 2）已经足以产出令人满意的结果，同时还比用更大的 k 渲染更快［§6.2, p6］。

这句解释值得拆开来验证一遍。 原语越多 → 平均每枚铺得越小 → 剖面在屏幕上的「可见范围」越窄 → 用两个采样点加线性插值（一条折线，也就是锥形帽）就能把这条窄剖面描述够。反过来在 328K 那一档，每枚铺得大，折线不够，多给几个采样点确实能换到画质。原文还补了一句旁证：这个结果与［Celarek et al. 2025］的主要结论一致［§6.2, p6］。

FPS 那一列是这条结论的另一半：三档里 k 越大帧率越低（328K 档 123→96；657K 档 80→55；1.32M 档 42→28）［表 2, p5］。所以「大预算下 k=2 够用」同时意味着更快：这也是本篇在最大档取 k=2 的理由。

11.5　颜色模型那一条，与一句「不等价」

最后一项消融在表 1 里。原文说：在 Tab. 1 中，我们把基于视角相关 SH 的颜色模型换成一个每基元单一的常数颜色，记作 Ours (3D,w/o SH)，结果质量更低［§6.2, p6］。

换掉颜色模型会掉多少，表 1 的 Mip-NeRF360 那一行给得很清楚：Ours (3D,w/o SH) 28.53 / 0.835 / 0.192，对照 Ours (3D+SH) 的 28.73 / 0.842 / 0.185［表 1, p5］，PSNR 掉 0.20、SSIM 掉 0.007、LPIPS 升 0.007。这比 13.2 节里任何单个旋钮的影响都大，但比 13.3 节的预训练小得多。

原文紧接着给了一句判词，是这一节最该记下来的一句：颜色的视角相关性与几何的视角相关性不应被视为等价，因为它们在不同的通道上工作（也就是 RGB 与 alpha 通道）［§6.2, p6］。

这句话的用意是划定边界。 本篇标题里的「view-dependent」指的是几何（核的形状随视角变），而 SH/SB 带来的是颜色随视角变。两者都会让画质变好，但它们是两件可以独立开关的事，不能互相代替：「w/o SH」那一行正是这个说法的证据。

12边界与反例

这一章把原文自己承认的局限、与从数据里读出来的边界，放在一处。 前者以 §7 为主，后者散在第 10–13 章里。

12.1　作者自己列出的三条局限（§7）

第一条，也是最硬的一条：渲染速度低于同代方法。 原文的措辞是：如 Tab. 2 所示，我们的渲染速度低于 state-of-the-art 技术，即使在很多情况下我们能达到实时性能（＞ 50 fps）［§7, p6］。

原因原文给得很实：Φ_proj 与 Φ_dec 主要是为重建质量与表示效率设计的；当前在 Φ_proj、Φ_dec 与光栅化之间的耗时分解大约是 9 : 2 : 1［§7, p6］。

这个 9 : 2 : 1 是整篇最该记住的一个数。它说明本篇的瓶颈不在几何、不在光栅化，而在那两个 MLP：光栅化只占一成。第 10 章「原语更少却更慢」的谜底就在这里。

出路原文也列了两条：可以用各种加速手段把这两个 MLP 蒸馏成高性能版本（权值剪枝、切到 FP16 精度等），或者甚至用符号回归（symbolic regression）之类的方法反推出等价的解析方程［§7, p6］。第二条比第一条更要留意：它等于说：本篇学出来的核，有希望被重新写成一条手写式子，也就是回到第 1 章那条「解析核」的路上，但这次是由数据指定的式子。

第二条：没有考虑抗锯齿。 原文写：我们没有把抗锯齿纳入考虑；看起来有可能把我们的方法与相关技术（如［Yu et al. 2024a］）结合起来［§7, p6］。

第三条：没有用高级编码。 原文写：Φ_proj 与 Φ_dec 的输入没有采用任何高级编码方法（比如位置编码、频率编码）；我们有兴趣探索不同的编码来进一步改进性能，尤其是在 2D 泼溅上［§7, p6］。

这三条合起来读，有一个共同的形态：本篇把「核学出来」这件事先做通了，把工程上的三项常规优化（加速、抗锯齿、编码）全部留在了外面。 这不是遗漏，原文把它们逐条当作未来工作列了出来。

12.2　从数字里读出来的边界（原文没有单列）

下面这几条在原文里没有集中写，但表与正文里都摆着，读的时候要跟着结论一起带上：

12.3　原文给未来工作的四句话

§7 后半段列了一串未来方向，其中四句照录，因为它们标出了本篇的位置［§7, p6］：

• 自动设计图形表示：希望这项工作能激发更多关于「图形表示自动设计」的研究（例如为特定类型的场景开发高效、专用的表示），甚至包括处理管线本身［Zeng et al. 2025］。
• 视角相关性到底学到了什么：分析视角相关性里究竟学到了什么，并把它与刚性的欧氏 3D 一致性作比较；学到的一致性也许能帮助其他任务，比如正则化生成式 3D 建模。
• 时序指标：希望在时间域上计算量化指标，以系统性地分析动画里的重建质量［Liang et al. 2023］。
• 与重光照结合：希望与重光照方向的 state-of-the-art 工作［Bi et al. 2024］结合，以支持新视角与新光照条件下的高效图像合成。

第一条与第二条合起来，是这篇论文最像「一个开头」的地方。 它没有声称找到了最优核，而是给了一个能学核的框架，并把「核应该按场景类型分工」与「视角相关性到底是什么」这两件事留在门口。

13这篇论文的六条贡献

• 一个绕开线积分的可微框架：不算 3D 密度沿视线的线积分，而是直接学投影之后的 2D 核，从而不再需要闭式积分、也不绑死在某类网络上（§1、§5；第 1–2 章）。
• 两个轻量全局网络：Φ_proj（4 层 64 神经元）负责 3D 核 → 2D 核的投影，Φ_dec（3 层 4 神经元）负责把 r² 解成不透明度；两者共用一套权重、与基元属性联合优化（§5.2、§5.3；第 4–5 章）。
• 学出来的视角相关性：核随视角变化，而不是像前人那样只在「基元形状」上体现视角（§2.1、§6.1.2；第 9 章）。
• 一套可落地的加速：把 1D 剖面在 k 个 r 采样点上预求值、渲染时插值，把「基元内像素数」与「网络调用数」解耦，且不占额外内存（§5.3.3；第 5 章）。
• 径向对称的一处理论依据：用 hairy ball 定理说明「任意 3D 视角 → 2D 坐标架」的映射不连续，并给出在动画里会退化成核突转的实测后果（§5.3.2；第 4 章）。
• 向平面基元的扩展：同一套办法学一般 2D 核（不对称、10 维隐码、解码器隐层翻倍），并把它与既有的可学习径向核工作区分开（§5.4；第 6 章）。
• 实验与三条口径限定：4 个基准 21 个场景上画质达到最好或次好；三档内存预算下的表示效率；以及作者自己列出的速度、抗锯齿、编码三项局限（§6、§7；第 10–14 章）。

14出处、许可与怎么读这篇