大视场相机下靠近似投出来的高斯不算数：把投影近似换成沿射线的闭式积分，精确还能保实时

1立题：投影近似在大视场相机下为什么会坏

3D Gaussian Splatting（3DGS，Kerbl et al., 2023）在渲染质量与效率之间拿到一个很有吸引力的平衡，原文摘要把这一点当作起点直接承认，紧接着就点出它的代价：它依赖把 3D 高斯近似成 2D 投影，而这个假设在通用大视场（large field-of-view，FoV）相机下会掉精度（原文摘要, p.0）。整篇要拔的钉子就钉在这句上。

这份效率的核心来路是 EWA splatting（Zwicker et al., 2001），它用一次局部仿射近似把 3D 高斯投到图像平面上、拍成一个 2D 高斯。局部仿射的意思是在高斯中心附近把投影函数线性化，于是投影后的形状被当成一个对称的 2D 椭圆。窄视场里投影接近线性，这次近似误差很小，画面看不出问题；相机换成鱼眼、全向这类大视场之后，投影函数的扭曲在离中心越远的地方越强，线性化的残差跟着放大，真实投影显著偏离一个对称的 2D 高斯，鱼眼图像尤其明显，而这类相机在机器人与自动驾驶里很常见（原文 §1, p.0）。原文把这件事说得更死：在非线性相机模型下，3D 高斯的真实投影——无论理想针孔还是带畸变的投影——本来就不是一个对称 2D 高斯，所以任何靠线性投影几何去逼近非线性变换的框架，都必然引入无法彻底消除的近似误差（原文 §2.1, p.2）。

两条现成的补救路，原文逐一交代了各自的坎。splatting 这一线里，FisheyeGS（Liao et al., 2024）与 GS++（Huang et al., 2024b）估计等距或球面投影的雅可比，用来调投影后 2D 高斯的均值与协方差，可它们仍然依赖那条高度非线性投影函数的一阶泰勒展开，宽视场下高阶项不可忽略，误差压不下去（原文 §2.1, p.1–p.2）。ray-based 这一线几何上精确，代价落在关联上：EVER（Mai et al., 2025）与 3DGRT（Moënne-Loccoz et al., 2024）靠 BVH 把每条射线与最相关的 3D 粒子关联起来，算法复杂度与并行难度让纯 ray-based 追不上 3DGS 的速度；3DGUT（Wu et al., 2025）改用 ray-tracing 配光栅化的混合路来提速，却把关联阶段的投影近似误差一并继承，投影几何的精确性受牵连，极端视场下还会出现栅格线伪影（原文 §1, p.1，图 1-1 左）。

另有一条主张来自 Celarek et al. (2025)：把高斯数放大到 1M 就足以缓解 splatting 与 ray-based 之间的线性近似差距。原文的回应分两层。这条结论只在小物体中心的场景上验证过，大规模场景里所需的高斯数随物体与视锥剧烈变化，放大到更大场景的代价大到不可行；通用畸变相机下的投影误差又更大，单靠堆高斯数补不齐质量缺口（原文 §1, p.0–p.1）。换算成一句话：这颗钉子的误差不随高斯数增加而消失，所以才需要单独拔它。

把这些摆到一起，空位就显出来了：尽管近期已有若干扩展，还没有任何先前工作同时做到「投影精确（projective exactness）」与「通用相机下的实时效率」（原文摘要, p.0）。本篇的两条抓手正是从这个空位里取出来的。一条改「怎么算」：从第一性原理推导一个沿射线积分高斯密度的闭式表达式，用它支撑任意相机模型下的精确前向渲染与可微优化（原文摘要, p.0）。另一条改「关联谁」：给出 Particle Bounding Frustum（PBF，粒子边界锥），在不做 BVH 遍历的前提下提供紧致的射线—高斯关联（原文摘要, p.0）。前者把投影近似从渲染公式里去掉，后者把 BVH 从关联阶段里去掉。

实验侧的落点也先交代：在鱼眼与针孔数据集上，3DGEER 全指标优于先前方法，挑战性的宽视场条件下拿到 0.9–4.8 的 PSNR 增益、针孔视角 0.3–2.0，比现有的投影精确 ray-based 基线快 5 倍，还能泛化到训练时没见过的更宽视场（原文摘要 p.0、§1 p.1）。

三处原文出处对得上：立题的立场在摘要与 §1（p.0–p.1），两条补救线各自的坎在 §2.1 与 §2.2（p.1–p.2），误差的画面证据在 Figure 1（p.1）。第 2 章把这两线摆成一张表，逐格看它们各自缺哪一项。

2两条前人路：splatting 类与 ray-based 类

上一章把钉子定在投影近似上，这一章把两条前人路并排摊开，看它们各自缺哪一项。原文把这件事收在 §2.1 与 §2.2（p.1–p.2），并在 §2.2 末给出一张方法学总表，也就是表 2-1。

上半区是 splatting 类。多数 3DGS 变体沿用原始 EWA splatting 策略，把 3D 高斯投到图像平面、把外观近似成 2D 圆锥；为了在带畸变的大视场相机模型下做可微渲染，FisheyeGS 与 GS++ 去估等距或球面投影的雅可比，用它们调整投影后高斯的 2D 均值与协方差（原文 §2.1, p.1）。这条路的分野在表里看得清楚：表 2-1 上半区三行 3DGS、FisheyeGS、GS++ 的 Render 一格全是 Splat.，Particle Asso. Method 全是 EWA，Particle Asso. Scope 全是 Img.，Particle Type 全是 3D Gauss.；差别只落在 Large FoV 一列，3DGS 与 GS++ 是 ×、FisheyeGS 是 √，而三行的 Exact Meth. 一列都是 ×。原文对这条线的判语是它们仍依赖高度非线性投影函数的一阶泰勒展开，宽视场下高阶项不可忽略（原文 §2.1, p.2）。

下半区是 ray-based 类，共七行，Render 一格全是 Ray。它们的关联方式分散得多：2DGS（Huang et al., 2024a）用 Splat Bound. 配 Img. 作用域、粒子类型换成 2D Gauss.，把 3D 高斯换成 2D surfel 以求射线—面的精确求交；GOF（Yu et al., 2024b）用 EWA 配 Img.，直接套 EWA 去拟合 2D 包围圆锥与投影中心；EVER（Mai et al., 2025）与 3DGRT（Moënne-Loccoz et al., 2024）都用 BVH 配 Scene，差别在粒子类型，EVER 是常密度的 3D Ellip.、3DGRT 是 3D Gauss.；3DGUT（Wu et al., 2025）用 UT 配 Img.；HTGS（Hahlbohm et al., 2025）用 Splat Bound. 配 Img.、粒子类型是 3D Gauss.。原文点名的两种「仍在靠投影近似关联」的方法就落在这里——表注写 some of which still rely on projective approximated association (e.g., EWA or Unscented Transform)，EWA 落在 GOF 一行、Unscented Transform 落在 3DGUT 一行（原文 Table 1 表注, p.2）。

把坎逐条说清。3DGRT 拿 Keselman & Hebert (2022) 的最大响应假设建立 ray-tracing 框架，射线空间采样绕开显式投影、缓解宽视场畸变，可它的射线—粒子关联依赖昂贵的场景级 BVH，帧率被拖低（原文 §2.2, p.2）。EVER 把高斯换成常密度椭球，好换来透射率加权射线积分的闭式解，代价是表示能力下降，效率仍受 BVH 限制（原文 §2.2, p.2）。2DGS 用 2D surfel 换 3D 高斯，为的是拿到精确的射线—面求交；HTGS 把完整高斯表达式请回来，却沿用 2DGS 的射线—splat 关联，关联局限在屏幕空间，更宽的视场下不保证投影精确（原文 §2.2, p.2）。3DGUT 把帧率提到 3DGS 量级，加速靠的是 Unscented Transform 这一采样式近似去估投影图像空间里的 2D 圆锥；GOF 的毛病同源，它在极端视场下 AABB 估计不准，tile 到 AABB 的关联跟着出错，画面上可见栅格线伪影（原文 §2.2, p.2，图 1-1 左）。

表里还有一条容易漏的线：Particle Asso. Scope 一列只有三种取值，Img. 七行、Scene 两行、Frust. 一行。作用域停在 Img. 的七行，关联都在投影后的图像空间里做，正是上面说的那类投影近似关联；Scene 两行是 EVER 与 3DGRT 的场景级 BVH；走到 Frust. 的只有 3DGEER (Ours) 一行。把这一列与 Particle Asso. Method 一列并读，就能看出本篇换掉的到底是什么：作用域从图像空间推到 3D 空间的子锥，方法从 EWA、UT、Splat Bound.、BVH 换成 PBF，两项一起才把精确与高效同时拿到（原文 Table 1, p.2）。这一列的三种取值本身就是两条线分野的刻度。

两条线合起来的结论只有一句：splatting 线快但带投影近似，ray-based 线精确但关联贵，谁的账都没结清。本篇的开口就落在这两线之间——ray–particle 关联直接在 3D 空间的 frustum 级求解（图 1-1 右），在任意相机模型下保住 ray-based 渲染的几何精确，同时把渲染速度维持在 3DGS 量级（原文 §2.2, p.2）。原文并指出自己的位置是「在相机无关的角域里推导闭式界与整条渲染管线」，与先前工作的接口辨析放在附录 §D.3（原文 §2.2, p.2）。这条定位也把后面两章的分工定下来了：第 3 章处理渲染公式里的投影近似，第 4 章处理关联阶段的投影近似，两处走同一条路子——不做中间近似、直接吃真实的 3D 协方差（原文 §3, p.3）。

表 2-1 里 3DGEER (Ours) 那一行就是这条路的样子：Render 是 Ray，Particle Asso. Method 是 PBF、作用域是 Frust.、粒子类型是 3D Gauss.，Large FoV 与 High FPS 与 Exact Meth. 三列同时是 √；全表十个方法里，三列同时为 √ 的只有这一行。读这张表要先说清一件事：表注未给 √ 与 × 的文字图例，三列的含义由列名承载（大视场、高帧率、投影精确），本站按「√＝支持／满足、×＝不支持／不满足」读，这是本站的读法，非原文图例；表里的缩写 Splat. 与 Ray 与 EWA 与 BVH 与 Img. 与 Scene 与 3D Gauss. 与 3D Ellip. 一律照原文原样引用、不展开（原文 Table 1, p.2）。

表 2-1　粒子渲染方法在投影精确性上的方法学总览　（原文 Table 1, p.2 · 数值取原文文字层，逐格未改）

表注另把结构交代清楚：上半区列 splatting 类方法，下半区列 ray-based 类方法，后者中一些仍靠投影近似的关联，可数出的行数是 3 加 7 共 10 行，与表体一致（原文 Table 1, p.2）。两线各自的出处是 §2.1 与 §2.2（p.1–p.2），方法学总表是 Table 1（p.2）。第 3 章走进本篇的第一件抓手，看「沿射线积分」这条闭式解是怎么从第一性原理推出来的。

3闭式透射率：把高斯映到规范坐标，再沿射线精确积分

上一章把两条前人路摆开，这一章拆第一件抓手。「怎么算」的答案是从第一性原理推一条沿射线积分高斯密度的闭式表达式（原文 §3.1, p.3），链分五步，对应原文式 (1) 到式 (5)、也就是本篇的式 3-1 到式 3-5。

第一步写清被积的东西。附录 §B.1 的 3D 高斯密度保留协方差的 det(Σ)^½ 项、归一化常数取 ρ = √(2π)，协方差写作 Σ = RSSᵀRᵀ（S 为尺度矩阵，R 由单位四元数 q 得到，原文 §B.1, p.16）。这一笔差别要记住：3DGS 与 3DGUT 为简化 splatting 与关联省掉了 det(Σ)^½，本篇保留它，后面测度换元能否守恒就看它。

第二步做规范变换，也就是式 3-1。

它把规范坐标 u 映到世界坐标 x，线性部分是高斯自己的旋转与尺度、平移部分是它的中心。各向异性之所以能化成各向同性，靠的是把形状信息搬进坐标系本身：世界空间里每个高斯各有各的 R 与 S，映到规范空间后这些差异被矩阵吃掉，只剩中心在原点的标准形。缺了这一步，各向异性高斯各有各的协方差，积分里没有可复用的被积函数，闭式解无从谈起；原文另点明这条变换把雅可比行列式吸进密度测度（原文 §3.1, p.3；画面落点见图 3-1 右）。

第三步说明换元为什么合法，靠的是测度不变性。附录式 (B.5) 是一条跨坐标系的守恒：密度与射线段长的乘积换到另一套坐标后不变，Δx 对 Δu 的比值正好等于 det(RS)，即 det(Σ)^½（原文 §B.2, p.17）。这一步把式 3-1 吸收掉的雅可比行列式与 §B.1 保留的 det(Σ)^½ 对上账：正因留了那一项，换元后所有高斯才退化到同一个各向同性密度，也就是式 3-2；若不留它，测度不守恒、透射率尺度错掉；若不换元则退回 EWA 的一阶泰勒近似。

第四步把射线搬进规范空间，写成式 3-3。世界空间里的射线 r(t) = o + td 在规范空间里对应 r_u(t) = o_u + t d_u，起点与方向由 o_u = S⁻¹Rᵀ(o − µ) 与 d_u = S⁻¹Rᵀd 给出（原文 §3.1, p.4）。它与式 3-1 是同一次变换的两面，作用是让共享被积函数接得住这条射线；参数 t 在两个空间里一致，测度换元才能保留射线段长。

第五步沿射线积分，得到式 3-4：累积透射率写成 σ 乘上共享各向同性高斯沿规范射线的积分，结果收在一条指数上，指数里是式 3-5 的平方距离（原文 §3.1, p.4）。它能收成指数，正因为前三步把「各向异性加任意射线」化成了「各向同性加一条直线」；缺了任何一步，积分里都还留着与高斯形状耦合的项。

最后落到距离这一项，也就是式 3-5：它写的是射线到高斯中心的垂直距离，在规范空间里量的是马氏（Mahalanobis）距离（原文 §3.1, p.4）。

原文在 §3.1 的 Discussion 里把这条结果的性子点透：透射率只依赖射线在规范空间到高斯的距离，得到一个高效且几何精确的闭式解；它与先前工作用的最大响应启发式（Keselman & Hebert, 2022；Moënne-Loccoz et al., 2024）等价，本篇的推导揭示了它背后的投影精确性（原文 §3.1, p.4）。精度与效率能同时保住，账是分开的：精确性来自沿射线积分真实密度这条路线，整条链没有投影近似；效率来自闭式，一次指数求值替代了沿射线的数值 marching。原文另点出一条工程收益：跟着这条闭式推导与反向梯度链走，先前 ray-based 工作（Yu et al., 2024b）遇到的数值不稳定被显式避开，免除了「过滤退化高斯」这类冗余后处理（原文 §3.1, p.4）。式中的符号与取值收在表 3-1。

表 3-1　式 3-1 至 3-5 与第 4 章关联式的符号与物理量释义　（本站整理 · 出处见末列）

表里两个量原文给了确定取值：ρ 取 √(2π)、ξ 取 1；λ 在式 4-4 处写「典型取 3」，§D.1 的示例另取 λ = 1。w、h、K、FoV_x、FoV_y 与 W_pca 的维度原文未给具体数，表里以「—」标出，不补空位。原文出处是 §3.1（p.3–p.4）与附录 §B（p.16–p.19），对应原文式 (1) 到式 (5) 与 Figure 2（p.3）；第 4 章把同一份原则搬到关联阶段。

4射线—粒子关联的精确投影几何：PBF 与 CSF

上一章解决了「怎么算」，这一章解决「哪些粒子要算」。原文在 §3.2 开头给出一条判断：对 ray-based 高斯渲染来说，终精度（尤其在大视场相机下）与运行效率都强烈依赖射线—粒子关联策略，而这一点在先前工作里被大幅忽略（原文 §3.2, p.4）。

关联要回答的是哪些高斯对每条射线有贡献。原文把问题简化成把 Camera Sub-Frustum（CSF，相机子锥）映到 Particle Bounding Frustum（PBF，粒子边界锥），PBF 是在离高斯中心一定距离处紧致包围该高斯的锥；某个高斯的 PBF 与某个 CSF 相交，就把这个高斯分配给该 CSF，与该 CSF 关联的全部高斯都算作其内每条射线的贡献者（原文 §3.2, p.4）。先把方向换成角度语言，也就是式 4-1。

它在相机（视）空间里定义两个球面角：θ 与 φ 分别是水平分量、竖直分量各自与竖直分量之比的反正切，(d_c,x, d_c,y, d_c,z) 是相机空间方向向量 d_c 归一化后的分量（原文 §3.2, p.4）。θ 对应射线在水平（xz）平面的入射角、φ 对应竖直（yz）平面的入射角，各自取值从 −π/2 到 π/2。角度语言把任意相机模型的一条射线压成两个数与一组角度界，后面的相交判定都在角域里做。

式 4-2 用四个平面围出 PBF。

四个平面分两组：一组顺着 θ 角，平面按 (−1, 0, tan θ, 0) 的形式给出；一组顺着 φ 角，平面按 (0, −1, tan φ, 0) 的形式给出，其中 θ₁ ＜ θ ＜ θ₂ 与 φ₁ ＜ φ ＜ φ₂ 给出两组角度界的上下限（原文 §3.2, p.4）。四张平面都与高斯椭球相切，围出的锥紧贴高斯，这正是 PBF 紧致包围的来源。

第三个环节把平面从视空间搬到规范空间，也就是式 4-3。

给定相机外参 V 属于 SE(3) 与规范到世界的变换矩阵 H（见附录式 B.4），原文用相机到规范矩阵 (VH)⁻¹ 的逆转置去参数化规范平面，把视空间里定好的角度界搬过去；以 θ 的界为例，规范平面写成 (VH)ᵀ 作用在 gθ 上、展开为负的 (VH)₀ 加上 tan θ 乘 (VH)₂，其中 (VH)_i 表示矩阵第 i 行、写成列向量（原文 §3.2, p.4–p.5）。用逆转置是为了让平面在坐标变换下保持相切关系；这一步做错，后面解出的切线值就不再对应真实的包围结构。

第四个环节把「相切」写成约束，也就是式 4-4。

假设高斯椭球由 λ-标准差等值面定义，原文要求变换后的平面与这层等值面相切，把它写成一条二次方程：把 (λ², λ², λ², −1) 与 g_u 的转置按元素相乘、再与 g_u 点乘，结果为零，其中 ∘ 是 Hadamard 逐元素积，λ 控制等值面的展宽、原文说典型取 3（原文 §3.2, p.5）。对 φ 一组施加同一条约束就得到 φ 的角度界。缺了这条约束，锥界只能取大、tile 关联跟着过估。

第五个环节把约束解成角度界的闭式，也就是式 4-5。

对 θ 的界，令 c = tan θ_1,2，它要满足一条以 c 为未知量的二次方程，二次项系数是 T₂₂、一次项系数是负二倍 T₀₂、常数项是 T₀₀，其中 T_ij = λ²Σ^c_i,j − (µ_c µ_cᵀ)_i,j（原文 §3.2, p.5）。关键在它吃进去的量：Σ^c 与 µ_c 是高斯在相机空间里真实的 3D 协方差与 3D 均值，角度界直接从它们解出，中间不需要 EWA 或 UT 那样的圆锥近似，也不需要 HTGS 与 2DGS 那种屏幕空间约束（原文 §3.2, p.5）。原文另报告了一个边界情形：判别式为负、光心落在高斯椭球内时，保守地用相机最大 FoV 夹住锥角（原文 §D.1, p.21–p.22）。

若不走角域而回到屏幕空间，大视场下就会撞上 tan 的非单调：在 −π/2 到 π/2 之外直接比 tan 值，可能把角度界错配成镜像区间（附录图 D.1），原文因此借鉴 CMEI 相机模型（Mei & Rives, 2007）引入镜像参数 ξ，从四个候选镜像角里取最接近高斯中心镜像角 θ_µ,ξ 的两个作有效上下界，全程取 ξ = 1（原文 §D.2, p.23）。此处预处理（镜像角求交与规范变换）原文报告不到 0.13 ms（原文 §D.2, p.23）。附录 §D.3 另把透视屏幕坐标 u = tan θ、v = tan φ 代回本篇公式，说明它与 2DGS 与 HTGS 的表达式完全一致，后两者是本篇角域公式的透视特例；起点不同，可用的约束不同，闭式界与剔除保证的适用条件也不同（原文 §D.3, p.23）。

回到那句「效率也依赖关联」。PBF 与 3DGS 的 tile-AABB 映射同构：每个高斯用四张切平面围出的锥作紧致包围体，做包围体与子锥的相交测试，命中就分配。与 EVER 和 3DGRT 的场景级 BVH 相比，省掉的是两层开销——场景级空间分区结构的构建与维护、以及逐射线的层次遍历；关联被压到 frustum 一级，一次判定决定一个 CSF 收哪些高斯。原文据此把它写成用精确的 frustum—particle 测试取代 BVH 遍历，精度与效率兼得（原文 §3, p.3）。

这条链的每一步都能回原文核：五条式依次是原文式 (6) 到式 (10)（p.4–p.5），对应球面角、PBF 四平面、规范平面变换、切线约束与角度界方程；完整推导与镜像相交的细节在附录 §D.1 与 §D.2 与 §D.3（p.21–p.23），PBF-CSF 关联的示意是 Figure 3（p.4）。第 5 章接着交代第三条抓手 BEAP。

5BEAP：把「任意视场的相机」统一成一套图像参数化

第 4 章把「哪些高斯要算」钉在相机子锥与粒子边界锥的精确相交上，射线一侧还剩一件事没有交代：射线沿哪个方向采、颜色监督又落在图像的哪个位置。这件事在大视场相机下并不省心，因为不同相机模型把同一个方向映到图像上的方式不一样，屏幕坐标与方向角之间那条线性关系只在透视相机下成立。

原文在 §3.3（p.5）给出一套图像表示，名为双极等角投影（Bipolar Equiangular Projection，BEAP）。它的做法是先在球面角 (θ, φ) 上均匀地采射线，再用一个只含缩放因子与中心平移的线性变换，把这些射线映回离散的 w×h 图像空间。落到这套表示上，不同相机模型的图像空间被统一成同一套角域参数，像素坐标与方向角之间只剩一条线性关系，畸变不再出现在采样这一步。

原文给 BEAP 列了三条理由，三条都指向本文的两条主线（原文 §3.3, p.5）。第一条管表示能力：它能让大视场相机的图像在不损失视场的前提下被表示出来。第二条管关联效率：它让图像 tile 与其对应的相机子锥在「两个 θ、两个 φ」上共享同一套参数化，PBF 关联因此能做得很快，GPU 并行也排得更满，这一条把采样空间与第 4 章的关联对齐起来，第 4 章那对角度界正是按这两个角算出的。第三条管采样分布：由 BEAP 得到的射线在 3D 空间里比常规投影式渲染更均匀，原文说这在经验上提升了训练效率与重建质量。

这条式对应原文的式 (11)。它把角域里的坐标 (θ, φ) 映成图像坐标 (x, y)：水平方向取 w·θ/FoV_x 再平移 (w+1)/2，竖直方向取 h·φ/FoV_y 再平移 (h+1)/2，其中 w 与 h 是图像的宽与高，FoV_x 与 FoV_y 是相机的水平与竖直视场，θ 与 φ 的定义沿用第 4 章的式 4-1。原文把这条变换描述成「一个缩放因子加一个中心平移」，缩放因子由视场与分辨率共同决定，中心平移把角域的零点对到图像中心。它替换掉的是按屏幕坐标采射线这个默认做法：屏幕坐标只在透视相机下与方向角成比例，换成鱼眼或更宽的视场就不再成立，把采样挪回角域之后，同一套参数对任意相机模型都说得通。

这张图交代的是采样想变成什么样，与式 5-1 是同一件事的两个面（原文 §3.3, p.5）。原文把 BEAP 的采样与两种旧做法并排摆开：投影式采样把样本不成比例地分给边缘区域，等距投影在图像中心附近过采样。前者让边缘吃掉大量采样预算，后者让中心区域被反复采到，两者都使「一个像素对应一份等量信息」这个假设落空；BEAP 在 (θ, φ) 上均匀采样，射线在视锥内铺得更均衡，这正是第三条理由所说的更均匀。

要让这套表示真正承担监督，还得把监督信号搬进同一个空间。原文在附录 E（p.24）给出逆插值管线：准备训练数据时按原始图像的 FoV 采样射线并送进 CUDA 渲染器，同时为每条输入射线插值出真值颜色，使渲染值与真值落在同一套射线上。附录另给了由 (θ, φ) 到方向的针孔与 KB 鱼眼两条映射（原文式 E.1–E.7）；插值核的具体参数原文未给全，正文按「原文未给」记。

BEAP 在本篇里不止是采样技巧，它同时是 §3.3 的监督空间与 §4.5 单独做开与关研究的对象；后文表 9-1 的训练空间一列只在 Persp.、Eq.、BEAP 与 KB 之间切换，BEAP 即其中一档。把握住「监督落在哪套角域」这条线，接下来该看的是：若不动渲染的精确性、只把高斯数放大，能不能补上 splatting 与 ray-based 之间的质量缺口。

把流程收成伪码之前，先把四条前提摆清楚。

前提 1：场景用 SfM 点初始化高斯，参数为 µ、s、q、c 与 σ，输入是带内外参 K 与 V 的图像（附录 F, p.25）。

前提 2：渲染走 PBF-CSF 关联，先视锥剔除、按相机子锥划分、算 PBF 相交得到索引，全局深度排序后逐子锥逐射线算规范射线与马氏距离，再逐序混合（附录 F 的 Alg. 1, p.25）。

前提 3：射线与真值颜色由 BEAP(w, h, K) 生成（式 5-1），损失为 L = Loss(C, Ĉ)，用 Adam 更新，并按 3DGS 的 IsRefinementIteration 做稠密化与剪枝（§G, p.26）。

前提 4：这里的精确只指投影几何（附录 A, p.16）；ordering 与 self-attenuation 仍是近似，靠深度排序兜底。

// 渲染（附录 F, Alg. 1）
rc ← BEAP(w, h, K) // 式 5-1 采射线
CullGaussian(V) // 视锥剔除
F ← InitCSFs(w, h, K) // 相机子锥划分
{s, q} ← ViewspaceGaussians(s, q, V) // 变换到相机空间
idx ← PBF_Intersect(Sigma_c, mu, F) // PBF 与 CSF 精确求交（第 4 章）
Wpca ← PCA_Whitening(s, q) // 白化矩阵
keys ← DuplicateWithKeys(Wpca, idx)
SortByKeys(keys) // 全局深度排序
IdentifyFrustumRanges(keys)
逐子锥逐射线：Cano_Ray → Dist // 规范射线与马氏距离
C ← BlendInOrder(rays) // 逐序混合

// 训练（附录 F, Alg. 2）
mu ← SfM Points; s, q ← InitAttributes(); c, sigma ← InitCoefficients()
for i in 1 .. 30k:
 rc, C_hat ← BEAP(w, h, K)
 C ← Render(mu, s, q, c, sigma, rc, V)
 L ← Loss(C, C_hat); Adam(grad L)
 if IsRefinementIteration(i): Optimize(...) // 3DGS 的稠密化与剪枝

两条流程把前几章串起来：采射线走式 5-1，关联走第 4 章的 PBF-CSF，透射率走第 3 章的闭式解，稠密化沿用 3DGS 的调度（附录 F, p.25）。BEAP 的三条理由与这条映射写在 §3.3（p.5）的式 (11)，由 (θ, φ) 到方向的逆插值写在附录 E（p.24）。

6放大高斯数能不能补上投影近似的缺口

第 5 章把监督该落在哪套角域交代完，可它回答的只是往哪儿采，并没有触及另一个更基础的质疑：既然 splatting 的误差被归到投影近似上，那把高斯数堆上去，能不能把这笔误差填平。原文在 §4.1（p.6）用一个受控实验把这个问题摊开，实验给出的结论也是本篇与「加大规模」这一派的分界。

质疑方的原话来自 Celarek et al. (2025)：单纯放大高斯数、最多到 1M，就足以缓解 splat-based 与 ray-based 两类方法之间的线性近似差距。原文对这条主张的判语写得很直接：它只在小物体中心的场景上被验证过，也没有处理宽视场畸变带来的问题（原文 §4.1, p.6）。这句判语里有两条限定，一条关于场景的类型，一条关于相机的视场，合起来说明那条结论的适用范围比它的措辞看上去要窄。

为把这一点考察清楚，原文在 ScanNet++ 的场景上做了一组放大实验，对象是 splat-based 的鱼眼方法 FisheyeGS，做法是调低它的稠密化阈值，于是为场景产出 3.6–5M 个高斯，这组数跑在 H200 上（原文 §4.1, p.6）。把它与本文放在一起比时有两点要交代：一是两边评的是同一批场景与同一套分区协议，差别落在透射率怎么算、用来拟合的高斯有多少；二是放大版换的是稠密化阈值，除这一处之外仍是原来那套 splat-based 管线。

原文从这张图读出的第一条结论是：在同一高斯数下，红色曲线（FisheyeGS）与蓝色曲线（3DGEER）之间有清楚的 PSNR 差距，这说明存在一块来自投影精确性的近似缺口；原文另给了一个迭代口径，从 4k 到 30k 迭代之间差距一直可见，之后稠密化通常趋于饱和，也就是说继续堆迭代与堆高斯都换不到更高的 PSNR（原文 §4.1, p.6）。第二条结论落在浅蓝曲线上：放大后的 FisheyeGS 尽管内存与计算大幅增加，性能封顶在 29.3 PSNR，而本文只用 550-700K 个高斯就达到 32.1（原文 §4.1, p.6）。两条结论合起来回答的正是本章开头那个质疑：提高上限的钥匙不在数量上。

把这两个读数列成一条算式看得更清楚：32.1 − 29.3 = 2.8 PSNR，这是本站按原文给出的两个读数相减得到的，原文没有直接写出这个差值。跟着这个差值还有一层对照：拿到 32.1 的一方只用 550-700K 个高斯，拿到 29.3 的一方用了 3.6–5M 个，两者相差一个数量级；多出来的那几个数量级的高斯没有换来更高的 PSNR，反而落在 29.3 这个更低的封顶值上。

原文对实验的归因要原样带上，不给它加料。放大版换的是稠密化阈值、也就是换的高斯数量，但它仍是 splat-based 的方法，误差的来源没有跟着数量改变，所以这条路上的上限由近似本身封住，堆资源换不来更高的上限（原文 §4.1, p.6）。在同一高斯数上比较，等于先把表示容量这个变量控制住，剩下的差别只能来自两者算透射率的方式；把容量放开之后差距仍在，这条对照因此更硬。这也解释了为什么红色与蓝色两条曲线在同一横坐标上平行地分开：它们比的是两种算法，而非同一种算法在两种规模下的表现。

这一点与表 2-1 的 Exact Meth. 一列对得上。在那一列上，3DGEER 标为支持、FisheyeGS 标为不支持，两边在方法学总表上就分属两档；本章这组账正是该列在数据上的体现，曲线之间那条缝因此靠调参关不上。要看逐迭代的明细，原文给了附录 K.3（p.32），那里按迭代列出 FisheyeGS、放大版 FisheyeGS 与 3DGEER 的 PSNR、SSIM、LPIPS 与高斯计数，场景是 Bedroom、Office Room、Kitchen 与 Laboratory；附录未取图元，正文只登记这处指引与页号，不落附表数值。

这条账可以收在两个判断上：放大高斯数不能补上投影近似的缺口，因为缺口来自近似本身；把规模重新分给精确一侧才是本文的走法，它的上限由 32.1 这一档给出，成本一侧只用了 550-700K 个高斯。这条结论的适用范围也要按原文的限定来读，主张方只在物体中心的小场景上验证过，换到 ScanNet++ 这类大场景与更宽的视场，放大就不再是有效的补救。原文对这条主张的判语与两组读数写在 §4.1（p.6），受控实验的曲线见 Figure 5（p.6）。

7主结果：ScanNet++／ZipNeRF／MipNeRF360 三套账

第 6 章把「放大补不上」这条账钉住，本章摊开精确一侧的质量账。原文在 §4.2（p.6）先与代表性基线在鱼眼与针孔两类基准上比，总口径同段给出：为了评测得更全，作者针对每个数据集另做一层分析（原文原话 To ensure comprehensive evaluations, we incorporate additional analysis tailored to each dataset）。

第一套账在 ScanNet++ 上，按视场分区记：5 个场景、相机为 180° 对角视场；每个方法在整幅视场（Full FoV）或只在中心区（Central）训练，评测分成整幅、中心与边缘（Peripheral）三块；分区指标由像素掩膜加权，LPIPS 不能按区分开，故只在整幅视场下报（原文 Table 2 表注, p.7）。

表 7-1　ScanNet++ 上的方法对比（全视场／中央／边缘三分区）　（原文 Table 2, p.7 · 数值取原文文字层，逐格未改）

原文的判断是 3DGEER 在所有指标上一致优于基线（原文 §4.2, p.6）。差值与倍数以下都是本站按表现算，原文未写具体差：整幅视场 PSNR 高 31.50 − 30.64 = 0.86（对 3DGUT）、31.50 − 29.47 = 2.03（对 EVER）、31.50 − 27.81 = 3.69（对 FisheyeGS）；边缘区落差最大，28.94 − 23.28 = 5.66（对 FisheyeGS）；中心区咬得紧，32.64 − 32.44 = 0.20（对 FisheyeGS）。原文另有判断：竞争方法在中心区尚可、边缘区退化，3DGEER 则全程保持高保真；且即便只在中心裁剪上训练，它在所有分区上仍超过 FisheyeGS（对应 29.93／32.86／26.64 那一行）（原文 §4.2, p.6）。

第二套账在 ZipNeRF 上，按相机互测记。该数据集给出逐帧对齐的针孔与鱼眼两套视图，原文除标准鱼眼评测外还做跨相机泛化：鱼眼训练、针孔测试，以及反过来；训练数据两种来源是 1/8 分辨率的鱼眼（FE）与 1/4 分辨率的针孔（PH），测试集也分 FE 与 PH（原文 Table 3 表注, p.7）。

表 7-2　ZipNeRF 上的跨相机泛化对比（1/8 FE 与 1/4 PH 两套训练数据 × 两种测试数据）　（原文 Table 3, p.7 · 数值取原文文字层，逐格未改）

原文的判语是 3DGEER 在跨相机设置下同样全面领先，并把它归到几何精确渲染，说这样能把大视场训练数据吃满（原文 §4.2, p.7）。差值同样现算（本站按表 7-2）：鱼眼训、鱼眼测下，26.24 − 25.17 = 1.07（对 EVER）、26.24 − 23.18 = 3.06（对 FisheyeGS）；换成针孔训、鱼眼测，优势反而拉大，23.39 − 18.61 = 4.78（对 3DGUT）。原文点出的两处对照也在这张表上：FisheyeGS 只在针孔训、针孔测这一格表现好（26.61／0.889／0.212）；3DGUT 在针孔训练后转到鱼眼测试时急剧下滑，1/4 PH · SSIM↑ · FE 只有 0.662，而 1/8 FE · SSIM↑ · FE 是 0.879（原文 §4.2, p.7）。原文的收束是 EVER 与 3DGEER 因几何精确而泛化更好，3DGEER 更强。

第三套账在 MipNeRF360 上，换成标准窄视场。这套账除质量指标外还报帧率（默认基准 RTX 4090）；取自原论文的读数带记号，† 表示在 RTX 6000 Ada 上实测、‡ 表示在 RTX 5090 上实测（原文 Table 4 表注, p.7）。这张表在 p.7 右栏，是半栏表、只有 5 列，正文不按通栏列数推断。

表 7-3　MipNeRF360 上的定量结果（含 FPS）　（原文 Table 4, p.7 · 数值取原文文字层，逐格未改）

原文的判断是 3DGEER 在所有指标上刷新了当时的最好成绩，而且是唯一一个运行时间可与 3DGS 相比的投影精确方法，比 EVER 与 3DGRT 这类精确方法快 5 倍以上（原文 §4.2, p.7）。帧率倍数现算（本站按表 7-3）：327 ÷ 36 ≈ 9.1（对 EVER）、327 ÷ 52 ≈ 6.3（对 3DGRT，取 † 值）、327 ÷ 265 ≈ 1.23（对 3DGUT，取 † 值）；对上 3DGS 的 343，本文的 327 略低，并不比 3DGS 更快。质量侧的差值：27.76 − 27.21 = 0.55（对 3DGS）、27.76 − 27.20 = 0.56（对 3DGRT）。

图 7-1 把极端视场单拎出来，下面那张把跨相机摆在同一边；两张图都不参与读数，只给三张表的结论提供画面侧旁证。原文对图 7-1 只写两句：训练用 180° 对角视场、测试用更宽的 180° 圆视场，3DGEER 用更少的高斯重建出完整场景，FisheyeGS 这类 splatting 方法则在边缘区显著退化（原文 §4.2, p.7）。

三套账之外还有三处逐格核对的结果要如实并列，都是本站做的一致性检查，原文未说。

其一，同一配置出现在三张表里。3DGEER (Ours)／Full FoV／BEAP／ScanNet++（分区指标）这一行同时出现在表 7-1 第 6 行、表 8-1 第 3 行与表 9-1 第 4 行，7 个数值 31.50／0.953／0.126／32.64／0.955／28.94／0.945 逐格完全相同，且全篇跨表逐格相同的数值行仅此一组。行名写法不统一：表 7-1 与表 9-1 写 3DGEER (Ours)，表 8-1 写 Projective-Exact (Ours)（该表无训练视场与训练空间两列），附录 K.7（p.33）又写 3DGEER (Ours)。

其二，同一张表内的打平。表 9-1 第 1 行与第 3 行的 Central PSNR 同为 32.21，SSIM 是 0.951 与 0.952；同一对行的整幅 PSNR 却是 29.84 对 31.05，差 1.21，打平只发生在中心分区。原文未说明是巧合还是同一读数被两处分用，照录不解释。

其三，主表与附表的指引。附录 K.1、K.2、K.7、K.8、K.9 分别是表 7-3、7-1、8-1、9-1、7-2 的逐序列版，附表表注原文写 The overall results are shown in Tab. N.；表 2-1 没有逐序列版。附表未取图元，正文只在引用聚合值时把它们当旁证并标页与编号。

三套账的口径并排记住：ScanNet++ 按全视场、中心、边缘三分区，ZipNeRF 按鱼眼与针孔互测，MipNeRF360 走标准窄视场并附帧率；本章的差值与倍数都是本站按三张表现算的。表注与页号为 Table 2／3／4（p.7），图 7-1 与图 7-2 分别见 Figure 6（p.6）与 Figure 7（p.8）。

8运行时机制与透射函数替换

第 7 章给出的都是质量账，本章把高效与精确两件分开摊。一笔记运行时，另一笔记把透射函数换成 splatting 近似之后的代价。

原文在 §4.3（p.8）做运行时分析，硬件是 RTX 4090，对照对象是两个 splatting 方法：MipNeRF360 上的 3DGS 与 ScanNet++ 上的 FisheyeGS。原文的判断是，本文的 ray-based 渲染在渲染阶段略贵一点，但 PBF 的高效关联大幅削减了高斯复制与排序的开销，整体效率因此与优化过的 splatting 流水线相当（原文 §4.3, p.8；详细运行时见附录 K.4）。这处判断背后有两个数：PBF 给出的边界很紧，每个 tile 平均只关联约 475 个高斯，比 EWA 或 UT 少 3–5 倍；原文说这直接解释了关联阶段 2.5–5 倍的提速（原文 §4.3, p.8；明细见附录 K.5 与 K.6）。反过来，原文对投影式方案的批评是它们保守地高估屏幕空间范围，造成过度重绘与低效的内存访问，即使由 SnugBox 加速，也仍受中心偏移的密度近似限制，常反而加重伪影（原文 §4.3, p.8，指向图 1）。附录 K.6（p.33）给出逐项明细：每 tile 关联高斯数的均值与标准差为 EWA 2203／1447、UT 1377／1058、PBF 475／427，三者内存为 2.2／1.4／0.63 GB；附录 K.5（p.33）的关联阶段读数为 EWA 17.84 ms（56 FPS）、UT 11.16 ms（90 FPS）、PBF 3.98 ms（251 FPS）。把 K.5 里那两个前置值与 PBF 对比（本站按附表现算）：17.84 ÷ 3.98 ≈ 4.5、11.16 ÷ 3.98 ≈ 2.8，都落在正文 2.5–5× 的区间里。

第二笔账的动机写在 §4.4（p.8）。原文为了把投影精确的透射率（原文式 (4)，对应本篇式 3-4）这一项的效果单独隔出来，把它换成常用的局部仿射 splats，也就是 3DGS 与 FisheyeGS 里那个 2D 圆锥近似（原文原话 i.e., 2D conic as approximated in 3DGS and FisheyeGS）。

先在测试时换。渲染期近似（Rendering-Time Approx.）的做法是只在测试时把透射率换成 splatting 近似，训练阶段仍保留全部投影精确的部件（原文 §4.4, p.8）。

图 8-1 要说明的是两种部件之间的不一致：当透射率依赖 splat 近似、而关联却由精确的投影几何算出时，两者的口径对不上，剪枝就会出错，于是出现 mismatched culling（原文 §4.4, p.8）。原文把这个实验的用处点得很清楚，它放大并解释了 3DGUT 里报告的栅格线伪影（图 1），只不过那里方向相反，那边是 ray-based 的透射率配上圆锥近似的关联（原文 §4.4, p.8）。

再在训练期换，这一步对应本章要交代的机制主干。训练期近似（Training-Time Approx.）的做法是训练期也用 splatting 透射率，而关联始终保持投影精确（原文 §4.4, p.9）。原文描述的结果分两层：第一层是优化器与稠密化会部分补偿近似误差与 splatting 引入的跨视不一致；第二层是更大的损失在整段训练里诱导出更强的梯度，最终为拟合场景多加入 1.6–2.4 倍的高斯（原文 §4.4, p.9）。为什么高斯数会随之上浮，账就落在表 8-1 的 Avg. Gaussian Number (k)↓ 一列上。

表 8-1　ScanNet++ 上训练期透射函数替换的消融　（原文 Table 5, p.8 · 数值取原文文字层，逐格未改）

表 8-1 的最后一列可以直接验方向：1396.4 与 920.6 都大于 591.8，前两行用的是 splatting 透射率、第三行用的是投影精确的透射率，方向与表注「用 splatting 透射率会增加高斯数」一致。比值也现算（本站按表 8-1 现算，原文未直接给）：1396.4 ÷ 591.8 ≈ 2.36、920.6 ÷ 591.8 ≈ 1.56，与正文 §4.4 写的 larger (1.6–2.4×) 落在同一区间。原文接着说的另一半更关键：高斯数涨上去之后，近似带来的感知差距仍在，说明这块误差不能只靠稠密化补（原文 §4.4, p.9）。表面上看，前两行的 LPIPS 是 0.177 与 0.141，都高于第三行的 0.126，方向与表注一致。

这处替换还带出一组跨表读数，要如实并列。同一个 FisheyeGS，在表 7-1 里训练设置为 Full 与 Eq.，读数是 27.81／0.946／0.139（整幅）、32.44／0.956（中心）、23.28／0.914（边缘）；在表 8-1 里行名写作 FisheyeGS Splats，读数是 27.90／0.948／0.141、32.49／0.957、23.36／0.917。两处读数确实不同，表 8-1 一侧一致偏高：27.90 − 27.81 = 0.09、0.948 − 0.946 = 0.002、0.141 − 0.139 = 0.002、32.49 − 32.44 = 0.05、0.957 − 0.956 = 0.001、23.36 − 23.28 = 0.08、0.917 − 0.914 = 0.003（以上差值为本站按两表现算）。表 8-1 没有训练视场与训练空间两列，表注也没说明两处是否同一套训练设置，原文未标口径，这里并列两处读数、不替作者归因。3DGS 同理，且只有中心区可比：表 7-1 的 31.26／0.948 对表 8-1 的 27.16／0.884；两处的训练设置也不同（表 7-1 写 Central 与 Persp.，表 8-1 未标注），不能当同一读数来比。

两笔账都落在 §4.3 与 §4.4（p.8–p.9）：运行时一侧，每 tile 约 475 个高斯、比 EWA 或 UT 少 3–5 倍，关联阶段提速 2.5–5 倍；透射率替换一侧，训练期换上 splatting 近似会让高斯数涨 1.6–2.4 倍，而感知差距仍在，剪枝不匹配这一现象由图 8-1 给出画面侧的证据。表 8-1 与它的表注见 Table 5（p.8），图 8-1 见 Figure 8（p.9），明细在附录 K.4、K.5、K.6、K.7（p.33，行内引用）。

9BEAP 开关研究：监督空间怎么影响收敛

第 8 章把训练期透射率替换的账摊开，结论是近似误差换高斯数补不回来。整条管线里还有一处被换掉的是「往哪儿采样监督」，也就是本篇相对 3DGS 换掉的那个成像空间。原文 §4.5（p9）把它单拎出来做开关研究：把投影精确的透射率积分与 PBF 关联都固定住，只让监督用的射线采样分布变，在针孔、等距与 BEAP 三种之间比。原文把这个做法写成原话，即保持积分与关联不变、仅改变用于监督的射线采样分布。

这一项在第 5 章已经立起来。BEAP 是 §3.3 的成像参数化（式 5-1），在球面角上均匀采样射线、再用一个缩放与一个平移映回图像；第 5 章留了一句话说它既是监督空间、也是后续要单独做开与关研究的对象，本章就是那次研究的落地。表 9-1 的 Training Space 一列因此在三个 w/o 变体里取 Persp. 与 Eq. 两种，在完整模型里取 BEAP；同页正文另用「rows 1–2」指代前两行，指的就是 Central 加 Persp. 与 Full 加 Persp. 那一对。

三张表的关系也要先说清。表 9-1 与表 7-1 的列结构完全相同，表 8-1 的前 8 个数值列与二者同构、只多一列 Avg. Gaussian Number (k)，三表构成同一数据集 ScanNet++ 上的三组实验，区别在于各换了哪一项：表 8-1 换的是透射率，表 9-1 换的是监督采样分布。三表的训练空间取值也各有边界，表 7-1 有 Persp.、Eq.、KB 与 BEAP 四种（KB 来自 EVER 那一行），表 8-1 根本没有训练视场与训练空间两列、把方法与透射率合写在一格，表 9-1 只有 Persp.、Eq. 与 BEAP 三种。读表 9-1 时不能拿表 8-1 的行名去对应它的监督空间，两边不可互换。

这一组里最反直觉的读数落在针孔域。原文写的是，分辨率固定时分布均衡的信息比单纯把视场开大更要紧；在透视域里训练时，全视场甚至会不如中心区（原文 p9，指向表 9-1 的行 1 与行 2）。理由也是原文给的：大视场图像（原文图 K.2 左，行内引用）的角度采样极不均匀，有信息的内容集中在中心，信息量较少的边缘占了图像的大部分面积、被不成比例地过度采样。

表 9-1（原文 Table 6, p9）与表 7-1 的列结构相同（同数据集、同分区协议），10 列由 3 个文字列与 7 个数值列组成；4 行是 3 个 3DGEER w/o BEAP 消融与 1 行完整模型。三个 w/o 变体里，Full 加 Eq. 的 Full FoV 是 31.05／0.948／0.135、Central 是 32.21／0.952、Peripheral 是 28.56／0.935；Central 加 Persp. 是 29.84／0.943／0.131、32.21／0.951、26.23／0.915；Full 加 Persp. 掉得最狠，21.11／0.853／0.300、21.32／0.855、20.46／0.846。完整模型是 31.50／0.953／0.126、32.64／0.955、28.94／0.945。表注另有一处口径要带：分区指标由像素掩膜加权，LPIPS 不按区可分，因此 Central 与 Peripheral 只有 PSNR 与 SSIM 两列，数值列总计 7 个。表注的判语只有一句，BEAP 在 ScanNet++ 上于全部指标优于其它投影，并指向附录表 K.8（p33）看逐序列的完整统计，本站只作行内引用、不落表块。

表 9-1　BEAP 与其它监督方案的对比（ScanNet++）　（原文 Table 6, p.9 · 数值取原文文字层，逐格未改）

逐格核对里有一处原文没有交代的打平，要如实并列。表 9-1 的行 1（Central 加 Persp.）与行 3（Full 加 Eq.）的 Central PSNR 同为 32.21，SSIM 分别是 0.951 与 0.952，差 0.001。同一对行的 Full FoV PSNR 是 29.84 对 31.05，差 1.21；Peripheral 是 26.23 对 28.56。两行的监督空间不同、训练视场也不同，中央区读数却打平，原文未说明这是巧合还是同一读数被两处分用，本篇照录读数、不替作者解释。这是本站逐格核对到的，原文没有对照说明。倒过来说，行 1 与行 2 只在训练视场上不同（Central 对 Full，监督空间同为 Persp.），Central PSNR 却是 32.21 对 21.32，差 11.11，这一对正是原文「全视场不如中心区」那句的账面依据。

把完整模型相对三个 w/o 变体的差值算出来，能看出 BEAP 在哪个分区起作用最重。以下差值是本站按表 9-1 的读数现算的，原文未给差值。对行 1（Central 加 Persp.）：Full FoV 31.50 − 29.84 ＝ 1.66，Central 32.64 − 32.21 ＝ 0.43，Peripheral 28.94 − 26.23 ＝ 2.71，LPIPS 0.126 对 0.131 低 0.005。对行 2（Full 加 Persp.）：Full FoV 31.50 − 21.11 ＝ 10.39，Central 32.64 − 21.32 ＝ 11.32，Peripheral 28.94 − 20.46 ＝ 8.48，LPIPS 0.126 对 0.300 低 0.174。对行 3（Full 加 Eq.）：Full FoV 31.50 − 31.05 ＝ 0.45，Central 32.64 − 32.21 ＝ 0.43，Peripheral 28.94 − 28.56 ＝ 0.38，LPIPS 0.126 对 0.135 低 0.009。同样是全视场训练，只把监督空间从 Persp. 换成 BEAP，Full FoV 就差 10.39；从 Eq. 换成 BEAP，差收窄到 0.45，LPIPS 低 0.009。三组差值里最小的一对都落在 Central（0.43），这一分区对监督空间最不敏感。

表 9-1 与表 7-1 的列结构完全相同，是同一数据集上的两组实验；两表共用的那行（完整模型、Full、BEAP）在表 9-1 是第 4 行、在表 7-1 是第 6 行，读数逐格相同，与表 8-1 第 3 行一起构成跨三表的一致行，本站逐格核对的结果记在边界 2。原文对 BEAP 为何更好给的机制是采样更均匀、梯度更平滑一致，因而在细节上收敛更好（原文 p9）；附录图 K.5（p31）另有这一项的视觉对照，说的是均衡的角采样带来更好的几何与纹理细节保留，该图未取图元、只作行内引用。本章的证据落在表 9-1（原文 Table 6, p9），反直觉的那条写在同页正文并以「rows 1–2」指向表体，逐序列版本在附录表 K.8（p33），本站只作行内引用。

10结论、伦理与可复现：把「精确」划界，把「发布」说清

第 9 章收在监督空间这一项上，BEAP 被单独定了价。原文 §5（p9）的结论段把整篇的三件事一次收束：给出的是投影精确的体积高斯渲染的完整闭式解、由第一性原理推出；配套提出高效的 PBF 计算方法做射线—粒子关联，在保住投影几何精确的同时实现高速渲染；再提出 BEAP 图像表示，以在宽视场相机模型下做有效的颜色监督。末句的主张是，大量实验表明 3DGEER 在多个数据集上一致优于当前最好的方法，在困难的宽视场场景上尤其强。这句与摘要先立的判断接得上：迄今没有前人同时做到通用相机下的投影精确与实时效率。

结论段的三件事与第 1 章列的三条贡献一一对应，读的时候要分清哪些是本篇新提出的、哪些是借来的。闭式解、PBF 与 BEAP 是三条新贡献；骨架仍沿用 3DGS 的结构化两段式反向传播，高斯的位置用 SfM 点初始化，ScanNet++ 与 MipNeRF360 上的初始化与超参与 3DGS 对齐，ZipNeRF 另采用 EVER 与 SMERF 的训练配置。原文在实现细节（p25–p26）里把这些借用写得很直白，结论段所说的「完整闭式解」指的是那条投影精确的透射率与它的梯度链，不含这些外来组件。

结论段的「exact」并不覆盖全部物理意义，附录 A（p16）紧接着划界。原话说的是，本篇的精确指的是在「渲染」与「射线—粒子关联」两个过程中消掉投影几何里的线性近似，其误差不会随高斯数增加而下降（并指向 §4.1 那组放大高斯数的实验）；原文明确不宣称在完整物理体积意义上精确，框架里仍含 ordering、self-attenuation 与 overlapping 这类近似，作者把它们列为本篇的限制。同一节的 Limitations 段另写：本文对每个高斯独立积分，因此不显式处理自遮挡，ordering 靠按深度排序处理，补充视频里能看到偶发的 popping artifacts；按作者所知，EVER 是唯一解析处理 ordering 与自遮挡的方法，代价是渲染速度大幅下降。作者对深度排序的辩护也写在这里：先前 ray-tracing 类渲染器依赖「最大响应」假设，本身忽略 ordering 与自衰减，但实践中的误差可忽略（引 Celarek et al. (2025) 的 Fig. 9-11 与 Sec. 7.1），这解释了按深度排序为何仍能达到同类方法的实用精度。

同一节的 Future work 段（p16）给了两条后续方向：一条是把解析的或可学习的自衰减模型接进来，原文说可以借鉴椭球积分的做法而不招致沉重的运行时代价；另一条是把 ordering 处理得更原理化，以进一步减少极端配置下偶发的 popping。作者的判断是这些限制与投影精确这一贡献正交，解决它们会让框架在大规模或高动态场景上更稳。

Ethics Statement（p10）交代数据与用途。原话是，本工作建立在公开数据集（ScanNet++、ZipNeRF、Aria 与 MipNeRF）之上，不涉及人类受试者、私有数据或可识别个人信息；方法是推进三维场景重建与渲染研究用的，潜在应用在 XR、机器人与自动驾驶；作者不预见直接的有害后果，但指出高保真三维重建技术若被误用可能引起隐私顾虑，为此把实验限制在视觉社区广泛使用的研究数据集上。

Reproducibility Statement（p10）的开头原话是作者为可复现性做了相当的努力，随后把可核对的材料分成三块：全部数学推导与证明在附录的 Secs. B、C 与 D；数据集公开（ScanNet++、ZipNeRF、Aria 与 MipNeRF）；预处理、训练协议与评测指标的细节写在 Sec. G。末句讲发布，原话是实现将带训练与评测脚本在录用后公开（will be released ... upon publication）。另有一份 LLM Usage Statement（p16）：作者用大语言模型（ChatGPT, OpenAI）作写作助手，用途三项，即提升稿件清晰度与可读性、给图注与小节过渡的文体建议、为技术描述提供替代表述而不改科学内容；声明明确该模型未参与研究构思、算法设计、数据分析或实验验证，技术贡献、数学推导与结果均属作者，作者对全文内容负全责。

发布状态这一处要按写作时点如实处理。可复现性声明的原话是录用后公开代码与脚本，附录 K.1（p29）的原话是代码、视频与一个 HTML 页面已在补充材料里提供，两句讲的是两件事：一句讲录用后放出的仓库，一句讲投稿材料里附的东西。本站写作时点是否已公开可访问，待核；因此不写成已发布。三份声明的要点分别落在 §5（p9）、附录 A（p16）、Ethics 与 Reproducibility（p10）与 LLM Usage（p16），原文的参考文献（p10–p13）在本篇只作出处、不逐条列。

11附录推导：透射率定理、反向梯度链与数值稳定性

第 10 章把「精确」的边界与伦理、可复现的口径交清，本章顺着这些声明去看它们指向的推导。正文 §3.1 的那条闭式透射率在附录 B 里被完整推了一遍，附录 C 把反向传播的食谱逐项写开，并给出数值稳定性的对比论证。以下凡提到附录式子，都只作行内引用并标页与编号，不落式块。

附录 B.1（p16–p17）先立符号。3D 高斯的定义写成式 B.1，归一化常数取 ρ 等于根号 2π 的写法，与 3DGS、3DGUT 有一处明确差别：后两者省掉行列式项 det(Σ) 的平方根来简化 splatting 或关联，本文保留它。协方差按式 B.1 之后的写法取 Σ 等于 RSSᵀRᵀ，其中 S 是由尺度向量 s 构成的对角矩阵，R 是由单位四元数 q 得到的旋转矩阵。单条高斯的透射率积分是式 B.2，沿射线的颜色累积是式 B.3，其中 c_i 由球谐参数化，s、q、µ、σ 与 SH 系数一起经反向传播联合优化。保留行列式项这件事后面会兑现：缺了它测度就不守恒，透射率的尺度会错。

附录 B.2（p17–p18）把「为什么能有闭式解」讲清。第一步是定义一个所有高斯共享的规范坐标系，点 u 经式 B.4 映到世界坐标，于是规范空间里长度为 Δu 的线段对应世界空间里的 Δx 等于 RSΔu。第二步要求「密度乘射线段长」这个基本透射量在换元下不变，写成式 B.5，等价于把雅可比行列式吸进测度，并给出 Δx 与 Δu 的比值绝对值等于 |RS|、也就等于 |Σ| 的平方根。第三步得到规范空间里共享的各向同性密度，写成式 B.6。定理 1 的陈述是式 B.7，即沿射线的累积透射率等于 σ 乘上以垂直马氏距离平方的一半为指数的负指数；规范射线方向与矩向量由式 B.8 给出，距离平方按式 B.9 算成矩向量内积除以方向向量内积。原文在这里补了一句口径：t 小于 0 的部分通常可忽略，除非光心落在 3σ 以内，而那时所有 3D 高斯渲染框架都会把该高斯剔除。

定理 1 的证明在附录 B.3（p18–p19）。证明思路是先平移把高斯挪到原点、再旋转让射线方向对齐 z 轴；原文点明这两步不改变积分结果，依据是积分的平移不变性与标准高斯的各向同性。平移后的各向同性密度是式 B.10，与式 B.6 一致；对齐 z 轴后的射线写成式 B.11；积分在式 B.12 落定，结果是根号 2π 除以 ρ 再乘上以 D 平方一半为指数的负指数，其中 D 平方等于 u 下标 0 平方与 v 下标 0 平方之和的一半。最后式 B.13 给出每个贡献高斯的透射率，取 ρ 等于根号 2π 即回到式 B.7。

附录 C 是全篇的梯度食谱，共 14 式。C.1（p19）先立记号：T 等于 σ 乘 α，κ 记作 D 的平方，PCA 白化矩阵按式 C.1 写成 Σ 的负二分之一次方、也等于 S 的逆乘 R 的转置；对尺度向量 s、四元数 q 与均值 µ 的链式法则分别是式 C.2、C.3 与 C.4。C.2（p19）交代两级传播：RenderCUDA 逐射线累积、由 PBF 关联加速，PreprocessCUDA 逐高斯、由视锥剔除加速，这一结构化两段做法沿用 3DGS；其中对不透明度系数的偏导在 RC 段等于 α，对 κ 的偏导在 RC 段等于负的 T 的一半，两式合在式 C.5。

C.3（p19）把梯度回传到规范射线的三个量，即原点 o_u、方向 d_u 与矩 m_u，分别是式 C.6、C.7 与 C.8。C.4（p20）把梯度继续传到白化矩阵：经 d_u 的那一支是 ∂κ/∂d_u 与 d 的转置的外积，经 o_u 的那一支是 ∂κ/∂o_u 与 o 减 µ 的转置的外积，前一支在 RC 段按射线累积、后一支在 PC 段按高斯计算，两者相加即式 C.9。C.5（p20）给尺度梯度的逐元素写法（式 C.10），并把白化矩阵按四元数四个分量展开成显式矩阵（式 C.11），随之给出四个分量的端梯度（式 C.12）。C.6（p20）给对三维均值的端梯度，写成负的白化矩阵转置乘 ∂κ/∂o_u（式 C.13）。

C.7（p20–p21）是论证数值稳定性的地方。原文先点出对照：GOF 这类先前方法在反向传播上不稳，因而依赖额外的三维过滤启发式来稳住训练；本文的闭式公式连同其精确梯度链避开了这种不稳，从而免掉任何辅助过滤。差别出在 m_uᵀm_u 的展开方式上：先前方法用另一种写法（式 C.14），即两个范数平方之积减去 o_u 与 d_u 内积的平方；几何上两种写法等价，但当高斯某个轴被缩到接近零时，规范空间里的 o_u 与 d_u 趋于平行，两角余弦趋近 1，而两个范数同时发散，式 C.14 因此极易数值溢出，实践中甚至返回负值，反向传播随之不稳。原文把伪影的机理写得更具体：雪花状噪声来自式 C.14 的数值溢出，负值被过早返回、极小的正值又把高斯强度放大；由于 EWA 近似配雅可比与圆锥本身是数值稳定的，这些伪影主要来自不准确的 maximum-response 计算，并伴随栅格线花纹。本文的做法是在 CUDA 光栅器里直接算叉积及其梯度，前向用式 B.9、反向用式 C.6 至 C.9，从根源上绕开该问题，也就免除了过滤退化高斯这类冗余后处理。附录图 C.1（p21）是这一条的旁证：左图是 GOF 不做三维过滤时的伪影，右图是套用本文正反向公式后的稳定结果，该图未取图元，本站只作行内引用。

附录 B 与 C 合起来把正文那条闭式透射率变成可检验的推导链：一条从高斯定义与测度不变性推到定理 1（式 B.1 至 B.13，p16–p19），一条把反向传播拆成两级、逐项给出端梯度并论证数值稳定性（式 C.1 至 C.14，p19–p21）。

12附录实现细节、复杂度与限制 → 收 8 条边界

第 11 章把透射率定理与梯度链推完，本章把剩下的附录读完，末了收八条边界。

附录 D（p21–p23）补关联的实现：D.1 给角度界的求解（式 D.1 至 D.6），判别式为负、即光心落在高斯椭球内时，用相机最大视场保守夹住锥角；D.2 为大视场引入 CMEI 的镜像参数 ξ（式 D.7）并全程取 ξ 等于 1，所报预处理含镜像求交与全部高斯的规范变换合计不到 0.13 ms；D.3 说明取 u 等于 tan θ、v 等于 tan φ 后与 2DGS、HTGS 的表达式相同，后者是本篇角域公式的透视特例。

附录 E 与 F（p24–p25）给实现管线：E 是 BEAP 的逆插值，按原始图像视场采样射线并逐条插值真值颜色，球面角先换成归一化方向、再按针孔或 KB 鱼眼模型投到像素（式 E.1 至 E.7）；F 是两条算法，Alg. 1 依次做视锥剔除、划分 CSF、PBF 求交、白化、按键复制、全局深度排序、逐 CSF 逐射线算马氏距离与按序混色，Alg. 2 的训练循环用 BEAP 生成射线与真值颜色、算损失、Adam 更新，并调用 3DGS 的 Optimize。

附录 G（p25–p26）是实现与基线口径：鱼眼输入下比 FisheyeGS、EVER 与 3DGUT，针孔设置再加 3DGS 与 3DGRT；ScanNet++ 与 MipNeRF360 的初始化与超参与 3DGS 对齐，ZipNeRF 统一采用 EVER 与 SMERF 的配置；稠密化与剪枝用视空间 mean3D 的梯度控制、不用 mean2D 的梯度，鱼眼数据集先做双射网格映射、把渲染输出重投回原生 KB-Fisheye 空间再评测。分辨率口径是 ScanNet++ 与 MipNeRF360 用全分辨率、ZipNeRF 用最大可用分辨率，具体像素数原文未给；中心区与边缘区按角度区间划分，图像宽高与焦距的具体数值原文未给；跨相机实验用同一套测试相机位姿、只改内参。

附录 H 与 I（p26–p28）给预备与对照：H 是 EWA 预备，即本篇要绕开的那条路，局部仿射只取泰勒前两项、近似误差可用蒙特卡洛估计（式 H.1 至 H.9）；I 指 3DGRT 的 BVH 用内接代理二十面体、面中心约内缩 20%，代理形状损害求交精度并导致几何错误，用两套引擎渲染同一个预训练的 MipNeRF360-stump，得 3DGRT 的 25.79／0.745／0.264 对本文的 26.83／0.774／0.246。附录 J（p28）报 Aria（约 110° 圆视场、低光）的平均 PSNR 33.5dB 对 FisheyeGS 的 32.8dB，增益 +0.7dB 落在针孔数据集与高度畸变宽视场之间；附录 K.1（p29）原话是代码、视频与一个 HTML 页面已在补充材料里提供，K.2 的图 K.1 说 3DGS 因 tan 90° 趋于无穷塌成黑色、本文稳健渲染到 180°。

复杂度与内存这一侧，渐进复杂度的阶数式原文未给，能核的是读数。关联阶段比 EWA 与 UT 快 2.5–5 倍，每 tile 平均只关联约 475 个高斯（§4.3, p8）；附录表 K.6（p33）给每 tile 关联数的均值与标准差 2203 与 1447、1377 与 1058、475 与 427，渲染期内存 2.2／1.4／0.63 GB；附录表 K.4（p33）给逐阶段毫秒与总计，附录表 K.5（p33）给关联法从 EWA 的 17.84 ms、56 FPS 到 PBF 的 3.98 ms、251 FPS。限制方面，附录 A（p16）已把 ordering、self-attenuation 与 overlapping 列为本篇近似，这里只在边界 1 接住、不重复展开。

记号与训练口径单独标出。表 7-3（原文 Table 4, p7）的 FPS 默认基准是 RTX 4090，† 表示该数取自原论文、在 RTX 6000 Ada 上实测，‡ 表示取自原论文、在 RTX 5090 上实测，表体里只有 3DGRT 与 3DGUT 两行的 FPS 带记号，写作 52† / 68‡ 与 265† / 317‡。结果是先跑 30k 迭代再投回图像空间做全视场评测（p6），放大高斯数那组用 H200（p6），运行时分析在 RTX 4090 上做（p8）；这两处以外的训练硬件型号与学习率等超参，原文只说与 3DGS 对齐或采用 EVER 与 SMERF 的配置，具体数值原文未给。

边界 1：本篇的「精确」只到投影几何，不含完整物理体积正确性。附录 A（p16）原话是不宣称在完整物理体积意义上精确，框架仍含 ordering、self-attenuation 与 overlapping 三类近似；限制段（p16）另写不显式处理自遮挡、ordering 靠深度排序、可能有偶发 popping artifacts。

边界 2：同一配置跨三表读数逐格一致，但行名不统一。Full FoV 加 BEAP 的那行在表 7-1 第 6 行、表 8-1 第 3 行与表 9-1 第 4 行，7 个数值逐格相同（31.50／0.953／0.126／32.64／0.955／28.94／0.945）；表 8-1 第 3 行的原文行名写作 Projective-Exact (Ours)、附录 K.7（p33）又写 3DGEER (Ours)，引用须先声明取哪张表。

边界 3：FisheyeGS 与 3DGS 在两表读数不同且一致偏高，原文未标口径。FisheyeGS 是表 7-1 的 27.81／0.946／0.139、32.44／0.956、23.28／0.914 对表 8-1 的 27.90／0.948／0.141、32.49／0.957、23.36／0.917；3DGS 只有 Central 可比，是 31.26／0.948 对 27.16／0.884。原文未交代两处是否同一训练设置，本站并列读数、不归因。

边界 4：表 9-1 行 1 与行 3 的 Central PSNR 打平在 32.21。SSIM 是 0.951 对 0.952，差 0.001，原文未说明是否巧合；同一对行的 Full FoV 是 29.84 对 31.05，打平只发生在 Central 分区。

边界 5：附录 K 系列图与表未取图元，一律只作行内引用。附表 J.1（p28）、K.1（p29）至 K.9（p34）与附图 C.1（p21）、D.1（p23）、E.1（p24）、I.1（p27）、K.1 至 K.5（p29–p31）都不在本批的 8 图加 6 表内，正文只以文字层行内引用并标页与编号，不另立表块。

边界 6：关联数与内存只在附录明细里给，主表只承载 Avg. Gaussian Number (k) 一列。表 8-1 的这一列是 1396.4／920.6／591.8；附录 K.6（p33）给每 tile 关联数的均值与标准差 2203 与 1447、1377 与 1058、475 与 427，与正文 §4.3（p8）的约 475 个高斯、少 3–5 倍对齐。

边界 7：若干配置口径原文未给全。ScanNet++ 与 MipNeRF360 用全分辨率、ZipNeRF 用最大可用分辨率（§G, p26），三者的具体像素数原文未给；中心区与边缘区的角度区间用图像宽高与焦距表示，具体数值原文未给；所有结果在 30k 迭代后投回图像空间评测（p6）；表 7-3 的 FPS 默认基准是 RTX 4090，3DGS、EVER 与 3DGEER 三行 FPS 无记号，原文未说明未标记者是否都在 RTX 4090 上实测，不替作者归因。

边界 8：许可与资源发布的边界。许可按 arXiv 摘要页实测为 CC BY 4.0，可站内托管，文末给站内 paper.pdf 与 arXiv canonical 双链接；8 件图元与 6 张表一律原样零加工引用，逐件署名并注明未修改。资源侧，Reproducibility（p10）原话是实现将带训练与评测脚本在录用后公开，附录 K.1（p29）原话是代码、视频与一个 HTML 页面已在补充材料里提供；本站写作时点是否已公开可访问，待核，不得写成已发布。

13贡献块

14原文出处块